Cara Mudah Mencari Triple Pythagoras #1

Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentanng bagaimana mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan dari triple pythagoras dasar. Bagi yang belum membaca artikel tersebut bisa klik link ini. Ada banyak metode untuk mecari triple pythagoras yang telah dipublikasikan oleh banyak matematikawan sejak dulu. Metode yang akan kita pelajari kali ini terkenal karena pernah muncul pada salah satu tablet yang dibuat pada masa Babilonia. Tablet ini dinamakan tablet Plimton 322 dan diperkirakan dibuat pada sekitar tahun 1900 SM – 1600 SM. Tablet ini berisi berbagai macam triple pythagoras primitif atau triple pythagoras dasar seperti (3, 4, 5). Jika kita biasa mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan triple pythagoras dasar/primitif maka metode kali ini akan menghasilkan triple pythagoras dasar/primitif tersebut. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode tersebut yaitu sebagai berikut:

Jika u ,v adalah bilangan bulat positif dimana u > v dan u tidak sama dengan v maka

a = 2uv          b = u² – v²          dan   c = u² + v²

a, b, c adalah triple pythagoras.

Apa maksud dari teorema di atas? Contoh ambilah dua bilangan bulat positif dimana u > v dan (u, v)=1. Misalkan kita pilih u = 3 dan v = 2 maka diperoleh:

Kita peroleh a = 12, b = 5, dan c = 13. Ketiga bilangan tersebut merupakan triple pythagoras karena

a² + b² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² = c²

Kenapa bisa begitu? Mari kita buktikan teorema di atas!

Bukti:

Diketahui bahwa a = 2uv ;  b = u² – v² ; dan   c = u² + v²

Karena a² + b² = c² maka a, b, c merupakan triple pythagoras.

Berikut ini daftar beberapa contoh triple pythagoras yang diperoleh dengan nilai u dan v yang berbeda-beda:

Sebagai catatan pula bahwa teorema di atas tidak dapat digunakan untuk mencari semua triple pythagoras yang mungkin. Ada beberapa triple pythagoras yang tidak dapat dibentuk dengan cara di atas. Tahukah kalian triple pyhtagoras yang tidak dapat dibentuk dengan cara di atas? Silahkan dicari!

Sebenarnya ada banyak versi tenta metode di atas dan belum pasti siapa penemu pertama ide di atas. Pythagoras dan pengikutnya mempunyai versi tersendiri metode yang mirip dengan metode di atas. Namun, Jauh sebelum Pythagoras seperti Plato juga memiliki versi metode yang mirip. Pada tablet plimpton 322 juga ditemukan metode yang mirip yang dibuat pada masa Babilonia. Berikut ini versi-versi metode yang mirip dengan metode di atas:

1.    Metode dari Pythagoras dan pengikutnya.

Berikut ini versi dari Pythagoras dan pengikutnya:

Untuk setiap bilangan bulat positif m dimana m > 1 dan m adalah bilangan ganjil maka

Maka a, b, c merupakan triple Phytagoras primitif.

Cara membuktikan teorem ini sama dengan teknik membuktikan pada teorema di atas. Bedanya, Rumus dari Pythagoras dan pengikutnya ini selalu menghasilkan triple pythagoras primitif atau dasar. Kenapa bisa begitu? m adalah bilangan ganjil sehingga selalu menjamin hasil a, b, c selalu merupakan bilangan bulat dan karena (m, 1) = 1 atau relatif prima, maka ((m), (m² – 1)/2, (m² + 1)/2) = 1 juga atau relatif prima. Oleh karena itu, a, b, c merupakan triple pythagoras primitif.

Berikut ini contoh beberapa triple pythagoras primitif yang dihasilkan dari metode di atas. Sama seperti metode di atas, tidak semua triple pythagoras primitif bisa dibentuk dengan metode ini.

2.    Metode dari Plato

Metode Plato sangatlah mirip dengan milik Pythagoras dan pengikutnya. Bedanya Plato tidak membagi triple pythagorasnya dengan 2 sehingga triple yang dihasilkan bukan selalu triple pythagoras yang primitif.

Untuk setiap bilangan bulat positif m dimana m > 1 maka

Maka a, b, c merupakan triple phytagoras.

Ada berbagai macam metode untuk membuktikan teorema tersebut, salah satunya seperti metode pembuktian yang kita gunakan pada awal artikel ini. Berikut ini adalah beberapa contoh triple pythagoras yang dapat dihasilkan menggunakan metode dari Plato tersebut.

3.      Versi Pengembangan dari Teorema yang pertama di awal artikel

Jika u ,v adalah bilangan bulat positif dimana u > v serta (u, v)=1 dan u,v adalah bilangan ganjil maka

Maka a, b, c adalah triple pythagoras primitif.

Mungkin beberapa dari kalian ada yang bingung dan bertanya-tanya kenapa u dan v harus relatif prima, (u,v)= 1 ?? Jika u , v tidak bersifat relatif prima maka triple Pyhtagoras yang dihasilkan bukanlah merupakan triple Pythagoras dasar. Sebagai contoh kita ambil u = 4 dan v = 2 maka akan diperoleh a = 16, b = 12, dan c = 20 yang merupakan triple Pythagoras biasa tapi bukan merupakan triple Pythagoras dasar/primitif. Dengan (u, v) = 1 atau relatif prima, maka ((uv), (u² – v²)/2, (u² + v²)/2) = 1 atau relatif prima. Oleh karena itu, a, b, c merupakan triple pythagoras primitif.

Berikut ini beberapa contoh triple pythagoras yang bisa dihasilkan dengan metode tersebut.

Demikian artikel tentang triple pythagoras. Jika ada pertanyaan silahkan tuliskan pada kolom komentar atau bisa hubungi penulis melalui contact yang tersedia.