Cara Mudah Menghitung Nilai Limit Suatu Fungsi: Dalil I'Hospital

Pernahkah kalian mendengar tentang dalil l’Hospital? Ya dalil ini berkaitan erat dengan topik matematika tentang limit. Dalil tersebut banyak dikenalkan oleh kalangan pengajar pada siswa sebagai suatu ‘cara cepat’ atau ‘cara mudah’ untuk menghitung nilai limit suatu fungsi. Walaupun pada prakteknya tetap saja ada banyak fungsi yang susa dicari nilai limitnya meski sudah menggunakan dalil atau metode l’Hospital. Seperti apakah dalil l’Hospital itu? Mari kita pelajari!

Untuk menghitung nilai limit suatu fungsi f(x) dimana x mendekati a, kita bisa menghitungnya dengan mensubstitusikan nilai x = a pada fungsi f(x) tersebut. Akan tetapi setelah disubstitusikan nilai x = a, beberapa fungsi justru menunjukkan hasil 0/0 yang artinya nilai limit fungsi tersebut tidak dapat diketahui. Padahal, terkadang sebenarnya grafik f(x) pada posisi x = a memiliki nilai limit yang jelas. Oleh karena itu, diperlukan metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi tersebut. Pada dasarnya ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi pada kasus di atas. Beberapa metode tersebut adalah metode pemfaktoran dan metode perkalian sekawan yang dapat dipelajari pada artikel sebelumnya (Klik disini). Namun, banyak siswa yang kurang bisa memahami proses yang panjang dari metode tersebut walaupun sebenarnya metode tersebut baik dan bagus untuk dipahami dan dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari kalkulus. Sebagai solusi banyak yang kemudia beralih menggunakan metode I’Hospital. Bagaimana cara penggunaan metode tersebut? Lihat contoh berikut.

Dalil I’Hospital

Carilah nilai limit dari fungsi berikut!

Langkah-langkah menghitung nilai  limit fungsi diatas menggunakan dalil I’Hospital yaitu sebagai berikut:

1.      Pastikan bahwa fungsi tersebut tidak dapat dicari nilai limitnya dengan metode substitusi karena hasilya 0/0.

2.     Carilah hasil turunan pertama pembilang dan turunan pertama penyebut. Nilai limit dari fungsi di atas adalah sama dengan limit fungsi hasil turunan tersebut.

Sehingga,

3.      Substitusikan nilai x = a pada fungsi yang baru. Jika hasil substitusi terdefinisi (tidak 0/0 lagi) maka hasil tersebut merupakan nilai limit dari fungsi di atas. Jika hasil substitusi masih menunjukkan 0/0 maka kembali ke langkah 2 dimana fungsi yang baru kembali didifferensialkan satu tingkat (turunan kedua pembilang dan penyebut di atas) kemudian disubstitusikan. Langkah ini terus berlanjut sampai hasil substitusi terdefinisi.

Jadi nilai limit fungsi di atas pada x mendekati -1 adalah 1.

Apakah kalian paham dengan dalil I’Hospital di atas? Mari kita lihat contoh lain yang sedikit lebih sulit dan kompleks. Perlu diingat bahwa tidak semua fungsi menjadi lebih mudah dengan metode I’Hospital. Nanti akan kita lihat contohnya.

Contoh Soal:

Carilah nilai limit fungsi berikut!

Jawab:

a.       Kita coba dengan metode substitusi

Karena hasil substitusi menujukkan 0/0 maka dalil I’Hospita  bisa digunakan. Kita ubah pembilang dan penyebut dari fungsi di atas menjadi turunan pertamanya. Kemudian kita substitusikan kembali x = 0.

Karena hasilya masih 0/0 maka kita lanjutkan dengan mencari turunan kedua dari fungsi diatas. Kemudia substitusikan kembali x = 0

Karena hasilnya masih 0/0 maka kita ubah fungsi tersebut menjadi turunan ketiganya. Kemudian coba substitusikan kembali nilai x = 0.

Jadi nilai limit diatas adalah

b.      Sama dengan langkah di atas, pertama kita coba substitusikan nilai x = 0

Karena hasilnya 0/0 maka pembilang dan penyebut fungsi diubah menjadi turunan pertamanya. Kemudian kita coba lagi substitusikan x = 0.

Jadi nilai limit fungsi di atas adalah

Demikian artikel tentang Dalil I’Hospital. Jika ada pertanyaan silahkan tuliskan pada kolom komentar.