Cara Mencari Nilai Limit Suatu Fungsi

Limit merupakan salah satu topik matematika yang mulai dipelajari pada jenjang SMA kelas XI. Topik ini sangatlah penting karena menjadi dasar bagi mereka yang ingin belajar tentang kalkulus. Pada artikel kali ini, saya tidak akan membahas tentang definisi atau konsep dasar dari limit itu sendiri melainkan cara mencari atau menentukan nilai limit suatu fungsi dengan berbagai metode. Seperti yang sudah kita tahu, ada banyak cara atau metode untuk mencari nilai limit suatu fungsi tergantung dari karakteristik fungsi ang akan dicari nilai limitnya. Oke, langsung saja mari kita pelajari!

Metode Substitusi

Pada dasarnya untuk mencari nilai limit suatu fungsi misalnya untuk x mendekati a maka nilai limit fungsi tersebut dapat diperoleh dengan cara men-substitusi-kan nilai x = a pada fungsi tersebut. Contoh penggunaan metode substitusi yaitu sebagai berikut:

Contoh Soal 1:

Carilah nilai limit fungsi berikut!

Jawab:

Sekarang lihatlah contoh limit berikut:

Jika kita cari limitnya dengan metode substitusi maka kita akan memperoleh hasil:

Padahal apabila kita lihat grafik dari fungsi tersebut maka nilai limit pada x = -1 adalah 1. Untuk kasus fungsi yang seperti contoh di atas dimana setelah disubstitusikan nilai x = a hasilnya menunjukkan kondisi 0/0 maka metode susbtitusi tidak dapat digunakan. Sebagai gantinya, untuk mencari nilai limit fungsi seperti di atas harus digunakan metode lain seperti metode-metode berikut.

Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran pada dasarnya sama dengan metode substitusi yaitu dengan mensubstitusikan nilai x = a ke dalam fungsi yang akan dicari nilai limitnya. Bedanya, sebelum mensubstitusikan nilai x = a, fungsi harus terlebih dahulu disederhanakan dengan cara menghilangkan faktor penyebab nilai fungsi menjadi 0/0. Hal ini dapat dilakukan dengan cara memfaktorkan masing-masing pembilang dan penyebut fungsi. Contoh penggunaan metode ini yaitu sebagai berikut:

Contoh Soal 2:

Carilah nilai limit fungsi berikut!

Jawab:

a.       Pertama faktorkan bagian pembilang dan penyebut fungsi. Kemudian sederhanakan dengan menghilangkan faktor yang sama (Faktor penyebab nilai fungsi 0/0).

Setelah disederhanakan, nilai limit bisa cari dengan cara mensubtitusikan nilai x = 2.

b.      Pertama faktorkan bagian pembilang dan penyebut fungsi, kemudian sederhanakan. Fungsi pada soal di atas merupakan bentuk a² – b² = (a + b)(a - b) sehingga

c.       Pertama faktorkan bagian pembilang dan penyebut fungsi, kemudian sederhanakan. Fungsi pada soal di atas dapat difaktorkan dengan metode pemfaktoran Horner. Sehingga diperoleh hasil yaitu:

Jadi nilai limitnya adalah

Sekarang lihat contoh soal lain berikut ini:

Semua nilai limit di atas apabila kita substitusikan nilai x = a maka hasilnya menunjukkan kondisi 0/0. Ini berarti metode substitusi tidak dapat digunakan untuk mencari nilai limit diatas. Lalu apakah metode pemfaktoran bisa digunakan? Jika kita lihat bentuk fungsi pada limit di atas rasanya mustahil untuk kita memfaktorkan dan menghilangkan faktor pembuat fungsi menjadi 0/0. Lalu metode apa yang bisa digunakan untuk mencari limit di atas? Mari kita pelajari metode yang lain!

Metode Mengalikan dengan Faktor Sekawan (conjugate)

Selain metode pemfaktoran di atas, ada pula metode lain untuk mencari nilai limit suatu fungsi yaitu metode mengalikan dengan faktor sekawan dari pembilang dan penyebut fungsi yang akan di cari limitnya. Hal ini bertujuan agar fungsi tersebut dapat difaktorkan dan disederhanakan sehingga bisa dicari nilai limitnya dengan metode substistusi. Mari kita lihat contoh penggunaan metode ini pada contoh soal di atas.

Contoh Soal 3:

Jawab:

a.  Pertama, kalikan penyebut fungsi dengan faktor sekawannya. Pembilang tidak perlu dikalikan dengan faktor sekawannya karena tidak dalam bentuk akar sehingga mudah saja nantinya untuk difaktorkan/disederhanakan.

Setelah dikalikan, sederha fungsi tersebut dengan cara memfaktorkannya dan menghilangkan faktor yang sama.

Cari nilai limitnya dengan cara mensubstitusikan nilai x = 1

Jadi nilai liminya adalah

b.    Pertama, kalikan penyebut dan pembilang fungsi dengan faktor sekawannya masing-masing. Bagian yang berwarna biru merupakan sekawan dari penyebut dan bagian yang berwarna merah merupakan sekawan dari pembilang.

Sederhanakan hasil perkalian tersebut.

Sehingga,

Dengan metode substitusi maka kita dapat mencari nilai limitnya yaitu:

Ada satu metode lain untuk mencari nilai limit fungsi yang nilainya 0/0 apabila di substitusikan nilai x = a. Metode tersebut adalah metode L’Hospital. Penggunaan metode ini akan dibahas pada artikel selnajutnya. Jika ada pertanyaan silahkan tulis pada kolom komentar.