Metode Permutasi dan Faktorial Bilangan Asli

Suatu ketika kepala sekolah SMP Serayu akan membentuk kepanitiaan yang terdiri dari ketua, sekertaris dan bendahara dari 10 orang yang mencalonkan diri. Kepala sekolah tersebut pun mecoba-coba kemungkinan panitia yang bisa dia susun dengan ketujuh orang tersebut. Kemudian, kepala sekolah tersebut membuat list panitia yang dia susun. Namun, dia mulai kebingungan berapa banyak sebenarnya susunan yanng dapat dibuat untuk posisi ketua, bendahara, dan sekertaris dari ketujuh orang tersebut.

Masalah di atas merupakan contoh masalah yang bisa diselesaikan dengan kaidah pencacahan metode pengisian tempat atau metode permutasi. Metode pencacahan telah dijelaskan pada artikel sebelumnya. Oleh karena itu, kali ini kita akan belajar metode permutasi. Namun sebelum masuk pada penggunaan metode permutasi, perlu diketahui terlebih dahulu tentang faktorial bilangan asli.

Faktorial Bilangan Asli

Faktorial bilangan asli didefinisikan sebagai berikut:

n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 4 x 3 x 2 x 1

Contoh:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

Faktorial bilangan asli akan digunakan dalam metode pencacahan permutasi. Perhatikan contoh baru berikut yang pernah didiskusikan pada artikel sebelumnya.

Diberikan angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Hitunglah berapa banyak bilangan ribuan yang dapat disusun dari angka-angka tersebut jika tidak boleh ada angka kembar.

Jawab:

Dengan metode pengisian tempat maka diperoleh sebanyak 7 x 6 x 5 = 210 bilangan.

Bila kita hubungkan dengan penggunaan fatorial maka

Bagian yang merah tidak mempengaruhi hasil perhitungan karena bernilai 1. Banyaknya perkalian tambahan yang berwarna merah itu adalah banyaknya pilihan (7) dikurangi banyaknya tempat atau yang dipilih (3).

Lihat soal berikut juga “Hitung berapa banyak susunan 4 huruf yang diambil dari 9 huruf berikut yaitu A, B, C, D, E, F, G, H, I” menurut metode pengisian tempat akan diperoleh 9 x 8 x 7 x 6 = 3024 susunan. Ini bisa ditulis menjadi

Dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa:

Banyaknya cara menyusun r unsur tanpa pengulangan dari n unsur berbeda yang diberikan adalah

Metode di atas kemudian disebut Permutasi. nPr  dibaca permutasi r dari n unsur.

Contoh soal permutasi 1:

Pada masalah di awal artikel, akan dipilih 3 orang untuk posisi ketua, sekertaris dan bendahara dari 10 orang oleh kepala sekolah. Ini bisa diselesaikan dengan metode permutasi yaitu:

Jadi banyaknya susunan panitia yang dapat dibuat oleh kepala sekolah adalah sebanyak 720 susunan berbeda.

Contoh soal permutasi 2:

Plat nomor kendaraan jenis khusus suatu daerah berbentuk AA xxxx YY. Pada bagian xxxx diisi dengan susunan empat angka berbeda dan pada bagian YY diisi dengan dua huruf yang berbeda. Ada berapa banyak plat nomor untuk motor khusus yang dapat dibuat di daerah tersebut?

Jawab:

Bagian xxxx dapat dihitung dengan cara:

Bagian YY dapat dihitung dengan cara:

Karena bagian xxxx dan YY saling berkaitan maka banyaknya plat motor yang dapat dibuat adalah 5040 x 650 = 3276000 plat nomor untuk motor khusus.

Bagaimana jika bagian xxxx itu diperbolehkan ada angka kembar? seperti plat nomor untuk motor pada umumnya. Bagaimana jika bagian YY juga dibolehkan ada huruf yang sama?

Jika kasusnya demikian makan metode permutasi tidak dapat digunakan. Justru metode pengisian tempat akan jauh lebih mudah untuk menyelesaikan masalah tersebut. Lalu masalah seperti apa yang bisa diselesaikan dengan metode permutasi???

Masalah yang dapat diselesaikan dengan metode permutasi adalah masalah yang berkaitan dengan: penyusunan unsur yang memperhatikan urutan dan tidak ada pengulangan unsur dalam susunan tersebut.

Sebagai contoh masalah pemilihan panitia untuk posisi ketua, sekertaris dan bendara dari 10 orang merupakan masalah permutasi karena jika yang terpilih ABC itu berbeda dengan BCA karena yang jadi ketua pada susunan ABC adalah si A sementara pada BCA yang jadi ketua adalah si B. Dalam pemilihan tersebut juga tidak ada orang yang merangkap jabatan misal seperti AAB yang artinya A menjabat ketua sekaligus sekertaris.

Jika masalah pemilihan panitia tersebut dirubah menjadi “akan dibentuk tim beranggotakan 3 orang yang dipilih dari 10 orang” maka ini bukan malasah permutasi. Kenapa? Karena jika yang terpilih sebagai tim dengan susunan ABC hasilnya akan sama dengan tim yang terpilih dengan susunan BCA. Pada masalah ini urutan atau susunan terpilihnya tidak diperhatikan. Oleh karena itu, ini bukan masalah permutasi melainkan Kombinasi yang akan dipelajari pada artiket berikutnya.

Sekian artikel tentang permutasi. Jika ada pertanyaan, kritik, saran, atau masukan silahkan ditulis pada kolom komentar dibawah ini.