Himpunan dan Diagram Venn: Definisi dan Cara Menyajikan

Sering kali kita menemui soal matematika yang berkaitan dengan himpunan dan diagram venn. Soal-soal pada topik teori bilangan, peluang, atau statistik sering kali membutuhkan pemahaman tentang konsep himpunan dan juga diagram venn. Mari kita pelajari bersama!

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas seperti himpunan nama-nama hari, himpunan warga negara indonesia, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan prima. Objek atau benda haruslah terdefinisi dengan jelas seperti himpunan bilangan bulat itu jelas anggotanya yaitu 1,2,3, atau -2 dst atau himpunan nama-nama hari dengan anggotanya yaitu senin, selasa, rabu, dst. Kumpulan lukisan yang indah bukan termasuk himpunan karena objeknya tidak terdefinisi dengan jelas misal si A menilai lukisan 1 termasuk indah tetapi si B mengatakan lukisan tersebut kurang baik.

Himpunan ditulis atau dinotasikan dengan huruf kapital dengan anggotanya ditulis didalam kurung kurawal. Ada tiga cara menyajikan himpunan yaitu dengan cara:

1. Kata-kata deskripsi. Contoh A = {Nama-nama bulan}; B = {bilangan ganjil}
2. Mendaftar anggotanya. Contoh C = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
3. Notasi pembentuk himpunan. Contoh:
   

Banyak anggota suatu himpunan terkadang dapat dihitung (terhingga) dan kadang tidak dapat dihitung karena anggotanya sangat banyak dan tidak terbatas (Tak terhingga). Contoh himpunan terhingga yaitu himpunan bilangan prima kurang dari 10 dan contoh himpunan tak terhingga yaitu himpunan bilangan bulat.  Untuk menyatakan banyak anggota suatu bilangan digunakan suatu notasi khusus yang disebut bilangan kardinal suatu himpunan. Contoh:

Dari berbagai macam jenis himpunan, ada pula yang disebut sebagai himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota misalnya A = {gajah yang bisa terbanng} atau B = {bilangan bulat yang terletak diantara 0 dan 1}. Himpunan kosong ditulis atau dinotasikan sebagai berikut A = {} dan B = {}.

Adapula yang disebut dengan Himpunan semesta. Apa itu himpunan semesta? Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan Huruf S. Contoh: A= {himpunan mamalia} B={himpunan ikan} C={Himpunan avertebrata}; himpunan A, B dan C memiliki himpunan semesta yaitu S={mahluk hidup}. Contoh lagi: H={Bilangan prima} J={bilangan kelipatan 5} K={bilangan genap} memiliki himpunan semesta yaitu S={bilangan bulat}.

Sekumpulan himpunan memiliki hubungan satu sama lain. Apa saja?

1.      Himpunan yang ekuivalen:

Dua himpunan misal A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B). Contoh: A={1, 2, 3} dan B={a, b, c} karena n(A) = n(B) = 3 maka A dan B adalah dua himpunan yang ekuivalen.

2.      Himpunan yang sama

Dua himpunan misal A dan B dikatakan ekuivalen jika setiap anggota A sama dengan setiap anggota B. contoh: A={k, a, s, u, r} dan B={r, u, s, a, k} maka A=B.

3.      Himpunan bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota B juga. Himpunan bagian memiliki notasi khusus yaitu:

4.      Himpunan yang saling lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota A yang menjadi anggota B atau sebaliknya. Himpunan yang saling lepas juga memiliki notasi khusus yaitu:

5.      Himpunan yang tidak lepas (berpotongan)

Dua Himpunan A dan B dikatan tidak lepas jika ada anggota A yang menjadi anggota B atau sebaliknya.

Operasi Antar Himpunan

Himpunan memiliki operasi layaknya + dan – pada bilangan bulat. Untuk mempermudah memahaminya mari kita belajar dari contoh: Diketahui himpunan A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7} dan S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Ada 4 jenis operasi antar himpunan yaitu:

1.      Irisan Himpunan

Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekalikus anggota B. Pada contoh di atas yaitu:

2.      Gabungan Himpunan

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya berasal dari A atau dari B atau dari keduanya. Pada contoh di atas yaitu:

3.      Pengurangan

Himpunan A dikurangi himpunan B adalah himpunan yang anggotanya berasal dari A dan bukan merupakan anggota B. Pada contoh di atas jika A – B maka

4.      Komplemen

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggotanya berasal dari himpunan semesta yang bukan merupakan anggota A. Contoh:

Untuk menyajikan suatu kumpulan himpunan agar mudah dibaca dan dipahami secara langsung baik hubungan maupun operasi antar himpunannya, digunakanlah diagram venn. Apa itu diagram venn? Mari kita pelajari!

Pada contoh di atas diketahui himpunan A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7} S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Perhatikan contoh Diagram Venn untuk relasi himpunan-himpunan diatas adalah:

Untuk menggambar atau menyajikan relasi antar himpuanan pada diagram venn perlu dilakukan langkah berikut yaitu:

1.      Selidiki terlebih dahulu relasi antar himpunan yang akan disajikan misalnya himpunan A dan B. Apakah A dan B saling lepas atau A dan B berpotongan?

2.      Tentukan anggota A-B dan B-A (jika himpunan yang disajika lebih dari dua maka harus dikurangi himpunan yang lain). Setelah itu tuliskan anggotanya ke dalam ruang yang disediakan dengan cara menulis satu titik diikuti nama anggota.

3.      Tentukan anggota himpunan semesta yang tidak menjadi anggota dari himpunan yang ada (A^C U B^C ). Kemudian tuliskan hasilnya pada ruang luar himpunan.

Sekian artikel tentang himpunan dan diagram venn. Jika ada pertanyaan silahkan tulis di kolom komentar.