Cara Mudah Membuktikan Bilangan Prima

Pada artikel terdahulu, saya pernah membahas tentang cara mudah untuk mencari bilangan prima dengan metode saringan. Namun, metode tersebut pun terbilang masih sangat tidak efisien untuk bilangan prima yang nilainya sampai ribuan atau bahkan jutaan. Pertanyaannya sekarang, adakah metode atau cara untuk mengecek bahwa suatu bilangan itu termasuk bilangan prima atau bukan? Ada banyak jawaban untuk pertanyaan ini. Berbagai metode saat ini telah banyak muncul untuk tertama metode dengan menggunakan komputer. Lalu bagaimana jika kita sedang ujian dan butuh secepatnya tahu apakah suatu bilangan termasuk bilangan prima tau bukan. Berikut ini akan kita bahas salah satu metode untuk mengecek atau membuktikan bilangan prima. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode ini berkaitan erat dengan teori bilangan jadi untuk pelajar tingkat SMA ataupun SMP bisa langsung melihat contoh penggunaannya tanpa melihat bagaimana pembuktian teorema berikut. Pasalnya, mungkin ada beberapa bagian yang agak sulit dipahami karena teori bilangan tidak secara khusus dibahas di tingkat SMP dan SMA. Teorema tersebut berbunyi sebagai berikut:

Membagi Ruas Garis dengan Penggaris dan Jangka

Dalam geometri bidang, penggaris dan jangka sering digunakan untuk menggambar bangun-bangun datar maupun ruang. Di era sekarang mungkin penggaris dan jangka tidak terlalu diperlukan karena adanya aplikasi untuk menggambar pada komputer. Namun sering kali metode yang digunakan untuk menggambar bangun geometri di suatu aplikasi pun memerlukan pemahaman tentang cara klasik menggambar dengan jangka dan busur misalnya seperti aplikasi Geogebra atau sejenisnya. Aplikasi yang demikian mutlak memerlukan pemahaman menggambar dengan menggunakan penggaris dan jangka. Kali ini kita akan mempelajari salah satu penggunaan penggaris dan jangkan yaitu untuk membagi ruas garis menjadi beberapa bagian sama panjang. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Berikut ini beberapa cara menggunakan penggaris dan jangka dalam menggambar bangun geometri bidang:

1.    Membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang

Contoh: kita akan membagi ruas garis berikut:

Langkah-langkah untuk membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang yaitu:

-  Letakkan jangka pada salah satu ujung ruas garis, kemudian bentangkan sampai kira-kira lebih dari setengah garis tersebut. Lalu buat lingkaran dengan pusat ujung ruas garis tersebut.

Membuktikan Kesebangunan dan Kekongruenan pada Segitiga: Teorema dan Contohnya

Pada artikel sebelumnya telah dibahas tentang konsep, definisi dan contoh kesebangunan dan kekongruenan bangun datar. Pada prinsipnya untuk membuktikan bahwa dua bangun datar dikatakan sebangun jika kita mampu menunjukkan dua hal yaitu 1) Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama dan 2) perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama dengan 1 maka dua bangun datar tersebut dikatakan kongruen. Namun, untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan pada segitiga, kita tidak perlu membuktikan satu per satu setiap sisi dan sudut yang bersesuaian. Ada teorema yang bisa digunakan untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan segitiga dengan lebih efisien. Bagaimana caranya? Mari kta pelajari!

Awalnya untuk membuktikan bahwa dua segitiga tersebut sebangun maka harus dibuktikan bahwa:

Ternyata untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun tidak perlu dibandingkan semua panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian. Bagaimana caranya?

Kesebangunan Bangun Datar: Konsep, Definisi dan Contoh Soal

Apakah kalian pernah dengar tentang kesebangunan? Apakah yang dinamakan kesebangunan bangun datar itu? Mari kita peajari! Pernahkah melihat peta? Lihatlah peta pulau jawa di bawah ini.

Pulau pada peta memiliki bentuk yang sama dengan pulau yang sebenarnya tetapi ukuran pulau tersebut lebih kecil. Bahkan ukuran baik panjang, lebar, maupun jarak antar tempat pada peta sebanding dengan panjang, lebar, dan jarak pada pulau yang sebenarnya berdasarkan suatu rasio yang disebut skala. Karena pulau pada peta dan pulau tersebut memiliki bentuk yang sama serta ukuran yang sebanding dengan ukuran yang sebenarnya maka dikatakan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Jadi apakah kesebangunan itu?

Lihatlah bangun-bangun datar berikut:

Apa yang dapat kalian simpulkan dari bangun-bangun yang memiliki warna yang sama? Ya Benar, Bangun yang berwarna sama TERLIHAT memiliki bentuk yang mirip hanya saja ukurannya berbeda seperti halnya pulau pada peta dengan pulau yang sebenarnya. Lalu apakah bangun yang memiliki warna yang sama dapat dikatakan sebangun seperti halnya pulau pada peta? Peta dikatakan sebangun karena pembuatannya berdasarkan pengamatan dilapangan dan disesuaikan ukurannya berdasarkan rasio. Oleh karena itu, jelaslah bentuknya sama dan ukurannya sebanding yang menjadikan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Bagaimana dengan bangun datar di atas? Apa yang membuat mereka dapat dikatakan sebangun?

Himpunan dan Diagram Venn: Definisi dan Cara Menyajikan

Sering kali kita menemui soal matematika yang berkaitan dengan himpunan dan diagram venn. Soal-soal pada topik teori bilangan, peluang, atau statistik sering kali membutuhkan pemahaman tentang konsep himpunan dan juga diagram venn. Mari kita pelajari bersama!

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas seperti himpunan nama-nama hari, himpunan warga negara indonesia, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan prima. Objek atau benda haruslah terdefinisi dengan jelas seperti himpunan bilangan bulat itu jelas anggotanya yaitu 1,2,3, atau -2 dst atau himpunan nama-nama hari dengan anggotanya yaitu senin, selasa, rabu, dst. Kumpulan lukisan yang indah bukan termasuk himpunan karena objeknya tidak terdefinisi dengan jelas misal si A menilai lukisan 1 termasuk indah tetapi si B mengatakan lukisan tersebut kurang baik.

Sifat-Sifat Logaritma, Contoh, dan Pembuktiannya

Tahukah kalian apa itu logaritma? Apabila diketahui jika a ^m = b maka logaritma didefinisikan sebagai berikut: ^a log b = m . Logaritma digunakan untuk mengoperasikan pangkat suatu bilangan.

Seperti hanya eksponen, a pada logaritma disebut pula bilangan pokok. Sementara b disebut numerus dan m adalah hasil logaritman yang merupakan pangkat pada bentuk eksponen. Contoh logaritma yaitu sebagai berikut:

Sebagai tambahan pengetahuan gambar di atas merupakan salah satu grafik fungsi logaritma (y = log x). Logaritma memiliki beberapa sifat yang berlaku seperti halnya eksponen. Berikut ini akan kita bahas sifat-sifat dari logaritma dan buktinya.

Sifat-Sifat Eksponen (Bilangan Bentuk Pangkat)

Eksponen adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a ^m = a.a.a.a. ... (Sebanyak m faktor) dimana a > 0 dan a tidak sama dengan 1. a kemudia disebut bilangan pokok dan m adalah pangkat.

Bilangan eksponen memiliki beberapa sifat pada operasi perkalian dan pembagian. Misalkan m dan n adalah bilangan bulat maka:

1.  a ^m . a ⁿ = a ^{m + n} 

Contoh: 3⁴ . 3² = 3 ⁴⁺² = 3 ⁶

Kenapa bisa begitu? Bukti:

Terbukti.

Memfaktorkan dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Tahukah anda tentang persamaan kuadrat? Salah satu topik tentang aljabar yang mulai diajarkan pada siswa SMP kelas VIII. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum (baku) yaitu

Persamaan kudrat sangat sering dipakai dalam matematika analitik. Salah satu masalah yang paling sering muncul yaitu bagaimana cara memfaktorkan suatu persamaan kuadrat. Memfaktorkan merupakan salah satu metode untuk menemukan solusi dari persamaan kuadrat. Untuk bisa mendapatkan solusi atau himpunan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat maka proses pemfaktoran harus dilewati. Kecuali jika menggunakan rumus secara langsung. Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat? Adakah cara cepat memfaktorkan persamaan kuadrat? Mari kita pelajari bersama!

Perlu diperhatikan jika pada jenjang SMP masalah yangn muncul hanyalah memfaktorkan. Menentukan penyelesaian dan nilai x nya baru akan diajarkan pada jenjang SMA kelas X. Akan tetapi tidak ada salahnya melihat dan mempelajari sedikit tentang topik tersebut.

Menghitung Luas Trapesium

Pernahkah kalian melihat bangun datar seperti bangun di bawah ini?

Bangun-bangun di atas adalah bangun datar yang disebut trapesium. Ciri-ciri trapesium yaitu memiliki sepasang sisi yang sejajar. Pada artikel yang lain telah dipelajari cara menghitung keliling bangun datar termasuk trapesium. Nah kali ini kita akan menghitung luas trapesium. Tahukah kalian bagaimana cara menghitung luas trapesium? Mari kita pelajari!

Kita ambil satu contoh trapesium dari tiga jenis trapesium di atas. Lihat trapesium berikut:

Untuk membantu memahami cara mencari luas trapesium, perhatikan langkah berikut:

Cara Mudah Menentukan Persamaan Garis Lurus

Menentukan persamaan garis lurus adalah salah satu topik matematika pada jenjang SMP kelas VIII. Topik ini terbilang cukup sulit bagi yang kurang memahami konsep garis lurus dan hanya berpaku pada penggunaan rumus. Padahal materi ini cukup mudah bagi mereka yang sudah memahami konsep dasarnya. Bahkan, untuk menentukan persamaan suatu garis yang misalnya hanya diketahui dua titik yang dilewati, gradien, dsb, tidak perlu menggunakan rumus yang berbeda-beda. Bagaimana caranya? Mari kita pahami terlebih dahulu tentang garis lurus!

Gambar di atas merupakan grafik garis lurus dengan persamaan y = (-3/5)x + 3. Secara umum persamaan suatu garis lurus dinyatakan dalam dua bentuk umum yaitu: