Cara Menggambar Sudut Siku-Siku dan Garis Tegak Lurus Menggunakan Jangka dan Penggaris

Pada artikel sebelumnya, kita pernah membahas tentang cara membagi ruas garis menjadi beberapa bagian sama panjang hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris. Kali ini kita akan bahas bagaimana penggunaan jangka dan penggaris lebih lanjut untuk membuat dan menggambar sudut siku-siku atau garis lain yang tegak lurus dengan suatu garis hanya menggunakan jangka dan penggaris. Jangan lupa sediakan jangka dan penggaris terlebih dahulu sebelum kalian membaca lebih lanjut artikel ini.

Mari kita pelajari bagaimana caranya di bawah ini!

1.    Membuat Garis yang Tegak Lurus terhadap Suatu Garis

Gambarlah sat ugaris yang tegak lurus terhadap garis berikut ini hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris!

Jawab:

Bagaimana caranya??? Mari kita pelajari!

Langkah 1: Rentangkan jangka dengan jari-jari yang tidak terlalu panjang tetapi juga tidak terlalu pendek. Setelah itu, letakkan ujung jangka yang sebagai pusat pada garis yang diketahui. Kemudian, buat busur lingkaran yang memotong garis tersebut.

Pola Bilangan: Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika adalah sekelompok bilangan yang memiliki pola/aturan tertentu dan memiliki beda/selisih yang tetap untuk setiap dua suku yang berurutan. Apabila kita pahami definisi di atas, bebepa orang mungkin masih akan kesulitan membayangkan seperti apa itu barisan aritmetika. Oleh karena itu,  lihat contoh berikut:

Barisan Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, 10, ... (dan seterusnya). Memiliki beda yang konstan untuk setiap dua suku yang berurutan. Sederhananya, kita hanya perlu menambahkan 2 pada suku sebelumnya untuk menentukan/mendapatkan suku berikutnya.

Barisan berikut juga merupakan barisan aritmetika dengan beda -3 (Lihat gambar).

Lalu apa bedanya barisan aritmetika dengan deret aritmetika??? Barisan aritmetika dan deret aritmetika pada dasarnya sama. Perbedaannya adalah barisan aritmetika berupa sekelompok pola bilangan aritmetika yang di bariskan sedangkan pada deret aritmetika, bilangan-bilangan ini di jumlahkan. Lihat contoh berikut:

Barisan dan deret aritmetika biasanya digunakan pada topik kombinatorika dan suku banyak untuk merepresentasikan koefisien dari suatu suku banyak atau deret. Artikel kali ini akan membahas bagaimana cara mudah memahami barisan dan deret aritmetika. Beberapa rumus cepat atau cara cepat untuk menentukan pola barisan aritmetika dan menggunakannya dalam pemecahan masalah atau soal. Mari kita pelajari!

Jenis-Jenis Pola Bilangan dan Contohnya

Pernahkah kalian mendengar tentang pola bilangan? Dalam bahasa inggris pola disebut Pattern. Pola bilangan adalah aturan terbentuknya suatu kelompok bilangan. Apa maksudnya? Lihatlah contoh di bawah ini! Apabila kita perhatikan, banyak permen terus bertambah dari kiri ke kanan seperti membentuk suatu pola. Permen pada gambar berikutnya selalu bertambah satu sehingga mudah bagi kita untuk memprediksi berapa banyak permen pada gambar berikutnya.

Perhatikan banyak lingkaran berikut ini! Banyaknya lingkaran seperti membentuk suatu pola sehingga mudah bagi kita untuk menentukan banyak lingkaran berikutnya tanpa menggambarnya terlebih dahulu.

Pada contoh di atas, banyak permen dan banyak lingkaran mempunyai suatu pola atau aturan yang dapat digunakan untuk melanjutkan atau memprediksi berapa banyak permen atau lingkaran pada suku tertentu. Aturan yang demikian disebut sebagai pola bilangan.

Artikel kali ini akan membahas berbagai macam jenis pola bilangan yang mudah dikenal dan dipelajari. Pembuktian dari pola-pola bilangan berikut tidak akan dibahas secara mendetail kali ini tetapi mungkin akan dilakukan pada artikel berikutnya. Apa saja jenis pola bilangan tersebut?

Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku: Teorema Air Mancur

Pernahkah kalian mendengar tentang metode/teorema air mancur pada saat mempelajari topik kesebangunan? Metode air mancur adalah suatu teorema kesebangunan yang berlaku pada segitiga siku-siku. Metode ini biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah kesebangunan pada segitiga siku-siku seperti mencari panjang sisi miring, tinggi segitiga atau panjang ruas garis pada sisi segitiga. Kenapa metode ini dinamakan teorema air mancur? Saya pun kurang tau kenapa dan siapa yang pertama kali mencetuskan nama “air mancur”. Tapi, menurut prediksi saya nama tersebut dipakai agar mudah menghafal isi daripada teorema tersebut. Seperti apa metode air mancur itu? Mari kita pelajari!

Perhatikan segitiga siku-siku di atas! Pada segitiga tersebut berlaku hubungan yaitu:

1.      Bayangkan AC sebagai tiang air mancur maka air mancur tersebut akan menyembur keluar dari titik C ke titik yang lainnya (Lihat gambar di bawah ini) yaitu (a) dari titik C ke titik D dan (b) dari titik C ke titik B. Hal tersebut berarti kuadrat panjang AC sama dengan hasil perkalian panjang ruas CD (air mancur C ke D) dan panjang ruas CB (air mancur dari C ke B). Hubungan tersebut ditulis sebagai berikut:

Cara Mudah Mencari Triple Pythagoras #1

Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentanng bagaimana mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan dari triple pythagoras dasar. Bagi yang belum membaca artikel tersebut bisa klik link ini. Ada banyak metode untuk mecari triple pythagoras yang telah dipublikasikan oleh banyak matematikawan sejak dulu. Metode yang akan kita pelajari kali ini terkenal karena pernah muncul pada salah satu tablet yang dibuat pada masa Babilonia. Tablet ini dinamakan tablet Plimton 322 dan diperkirakan dibuat pada sekitar tahun 1900 SM – 1600 SM. Tablet ini berisi berbagai macam triple pythagoras primitif atau triple pythagoras dasar seperti (3, 4, 5). Jika kita biasa mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan triple pythagoras dasar/primitif maka metode kali ini akan menghasilkan triple pythagoras dasar/primitif tersebut. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode tersebut yaitu sebagai berikut:

Jika u ,v adalah bilangan bulat positif dimana u > v dan u tidak sama dengan v maka

a = 2uv          b = u² – v²          dan   c = u² + v²

a, b, c adalah triple pythagoras.

Teorema Pythagoras dan Contoh Penggunaannya

Teorema Pythagoras adalah teorema yang paling dikenal cukup luas mulai dari kalangan pelajar SD sampai perguruan tinggi. Bukti dari teorema ini pun sudah banyak sekali. Salah satu bukti teorema Pythagoras dapat dilihat pada artikel sebelumnya di blog ini. Teorema ini pun muncul pada preposisi no 48 buku Euclid Elements. Dalam buku tersebut teorema Pythagoras dituliskan sebagai berikut:

“If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sides of the triangle, the angle contained by the remaining two sides is right”

Kurang lebih artinya adalah “jika dalam suatu segitiga, kuadrat pada salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat pada dua sisi yang lainnya pada segitiga tersebut, maka sudut yang diapit oleh dua sisi lainnya tersebut adalah siku-siku”. Secara singkat, kita lebih seringmendengan teorema Pythagoras sebagai berikut:

“Pada segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang mengapit sudut siku-siku sama dengan kuadrat dari panjang sisi miring (terpanjang) segitiga tersebut”

Untuk lebih mudahmemahaminya, lihat gambar berikut:

Cara Mudah Membuktikan Bilangan Prima

Pada artikel terdahulu, saya pernah membahas tentang cara mudah untuk mencari bilangan prima dengan metode saringan. Namun, metode tersebut pun terbilang masih sangat tidak efisien untuk bilangan prima yang nilainya sampai ribuan atau bahkan jutaan. Pertanyaannya sekarang, adakah metode atau cara untuk mengecek bahwa suatu bilangan itu termasuk bilangan prima atau bukan? Ada banyak jawaban untuk pertanyaan ini. Berbagai metode saat ini telah banyak muncul untuk tertama metode dengan menggunakan komputer. Lalu bagaimana jika kita sedang ujian dan butuh secepatnya tahu apakah suatu bilangan termasuk bilangan prima tau bukan. Berikut ini akan kita bahas salah satu metode untuk mengecek atau membuktikan bilangan prima. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode ini berkaitan erat dengan teori bilangan jadi untuk pelajar tingkat SMA ataupun SMP bisa langsung melihat contoh penggunaannya tanpa melihat bagaimana pembuktian teorema berikut. Pasalnya, mungkin ada beberapa bagian yang agak sulit dipahami karena teori bilangan tidak secara khusus dibahas di tingkat SMP dan SMA. Teorema tersebut berbunyi sebagai berikut:

Membagi Ruas Garis dengan Penggaris dan Jangka

Dalam geometri bidang, penggaris dan jangka sering digunakan untuk menggambar bangun-bangun datar maupun ruang. Di era sekarang mungkin penggaris dan jangka tidak terlalu diperlukan karena adanya aplikasi untuk menggambar pada komputer. Namun sering kali metode yang digunakan untuk menggambar bangun geometri di suatu aplikasi pun memerlukan pemahaman tentang cara klasik menggambar dengan jangka dan busur misalnya seperti aplikasi Geogebra atau sejenisnya. Aplikasi yang demikian mutlak memerlukan pemahaman menggambar dengan menggunakan penggaris dan jangka. Kali ini kita akan mempelajari salah satu penggunaan penggaris dan jangkan yaitu untuk membagi ruas garis menjadi beberapa bagian sama panjang. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Berikut ini beberapa cara menggunakan penggaris dan jangka dalam menggambar bangun geometri bidang:

1.    Membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang

Contoh: kita akan membagi ruas garis berikut:

Langkah-langkah untuk membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang yaitu:

-  Letakkan jangka pada salah satu ujung ruas garis, kemudian bentangkan sampai kira-kira lebih dari setengah garis tersebut. Lalu buat lingkaran dengan pusat ujung ruas garis tersebut.

Membuktikan Kesebangunan dan Kekongruenan pada Segitiga: Teorema dan Contohnya

Pada artikel sebelumnya telah dibahas tentang konsep, definisi dan contoh kesebangunan dan kekongruenan bangun datar. Pada prinsipnya untuk membuktikan bahwa dua bangun datar dikatakan sebangun jika kita mampu menunjukkan dua hal yaitu 1) Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama dan 2) perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama dengan 1 maka dua bangun datar tersebut dikatakan kongruen. Namun, untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan pada segitiga, kita tidak perlu membuktikan satu per satu setiap sisi dan sudut yang bersesuaian. Ada teorema yang bisa digunakan untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan segitiga dengan lebih efisien. Bagaimana caranya? Mari kta pelajari!

Awalnya untuk membuktikan bahwa dua segitiga tersebut sebangun maka harus dibuktikan bahwa:

Ternyata untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun tidak perlu dibandingkan semua panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian. Bagaimana caranya?

Kesebangunan Bangun Datar: Konsep, Definisi dan Contoh Soal

Apakah kalian pernah dengar tentang kesebangunan? Apakah yang dinamakan kesebangunan bangun datar itu? Mari kita peajari! Pernahkah melihat peta? Lihatlah peta pulau jawa di bawah ini.

Pulau pada peta memiliki bentuk yang sama dengan pulau yang sebenarnya tetapi ukuran pulau tersebut lebih kecil. Bahkan ukuran baik panjang, lebar, maupun jarak antar tempat pada peta sebanding dengan panjang, lebar, dan jarak pada pulau yang sebenarnya berdasarkan suatu rasio yang disebut skala. Karena pulau pada peta dan pulau tersebut memiliki bentuk yang sama serta ukuran yang sebanding dengan ukuran yang sebenarnya maka dikatakan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Jadi apakah kesebangunan itu?

Lihatlah bangun-bangun datar berikut:

Apa yang dapat kalian simpulkan dari bangun-bangun yang memiliki warna yang sama? Ya Benar, Bangun yang berwarna sama TERLIHAT memiliki bentuk yang mirip hanya saja ukurannya berbeda seperti halnya pulau pada peta dengan pulau yang sebenarnya. Lalu apakah bangun yang memiliki warna yang sama dapat dikatakan sebangun seperti halnya pulau pada peta? Peta dikatakan sebangun karena pembuatannya berdasarkan pengamatan dilapangan dan disesuaikan ukurannya berdasarkan rasio. Oleh karena itu, jelaslah bentuknya sama dan ukurannya sebanding yang menjadikan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Bagaimana dengan bangun datar di atas? Apa yang membuat mereka dapat dikatakan sebangun?

Himpunan dan Diagram Venn: Definisi dan Cara Menyajikan

Sering kali kita menemui soal matematika yang berkaitan dengan himpunan dan diagram venn. Soal-soal pada topik teori bilangan, peluang, atau statistik sering kali membutuhkan pemahaman tentang konsep himpunan dan juga diagram venn. Mari kita pelajari bersama!

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas seperti himpunan nama-nama hari, himpunan warga negara indonesia, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan prima. Objek atau benda haruslah terdefinisi dengan jelas seperti himpunan bilangan bulat itu jelas anggotanya yaitu 1,2,3, atau -2 dst atau himpunan nama-nama hari dengan anggotanya yaitu senin, selasa, rabu, dst. Kumpulan lukisan yang indah bukan termasuk himpunan karena objeknya tidak terdefinisi dengan jelas misal si A menilai lukisan 1 termasuk indah tetapi si B mengatakan lukisan tersebut kurang baik.

Memfaktorkan dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Tahukah anda tentang persamaan kuadrat? Salah satu topik tentang aljabar yang mulai diajarkan pada siswa SMP kelas VIII. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum (baku) yaitu

Persamaan kudrat sangat sering dipakai dalam matematika analitik. Salah satu masalah yang paling sering muncul yaitu bagaimana cara memfaktorkan suatu persamaan kuadrat. Memfaktorkan merupakan salah satu metode untuk menemukan solusi dari persamaan kuadrat. Untuk bisa mendapatkan solusi atau himpunan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat maka proses pemfaktoran harus dilewati. Kecuali jika menggunakan rumus secara langsung. Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat? Adakah cara cepat memfaktorkan persamaan kuadrat? Mari kita pelajari bersama!

Perlu diperhatikan jika pada jenjang SMP masalah yangn muncul hanyalah memfaktorkan. Menentukan penyelesaian dan nilai x nya baru akan diajarkan pada jenjang SMA kelas X. Akan tetapi tidak ada salahnya melihat dan mempelajari sedikit tentang topik tersebut.

Menghitung Luas Trapesium

Pernahkah kalian melihat bangun datar seperti bangun di bawah ini?

Bangun-bangun di atas adalah bangun datar yang disebut trapesium. Ciri-ciri trapesium yaitu memiliki sepasang sisi yang sejajar. Pada artikel yang lain telah dipelajari cara menghitung keliling bangun datar termasuk trapesium. Nah kali ini kita akan menghitung luas trapesium. Tahukah kalian bagaimana cara menghitung luas trapesium? Mari kita pelajari!

Kita ambil satu contoh trapesium dari tiga jenis trapesium di atas. Lihat trapesium berikut:

Untuk membantu memahami cara mencari luas trapesium, perhatikan langkah berikut:

Cara Mudah Menentukan Persamaan Garis Lurus

Menentukan persamaan garis lurus adalah salah satu topik matematika pada jenjang SMP kelas VIII. Topik ini terbilang cukup sulit bagi yang kurang memahami konsep garis lurus dan hanya berpaku pada penggunaan rumus. Padahal materi ini cukup mudah bagi mereka yang sudah memahami konsep dasarnya. Bahkan, untuk menentukan persamaan suatu garis yang misalnya hanya diketahui dua titik yang dilewati, gradien, dsb, tidak perlu menggunakan rumus yang berbeda-beda. Bagaimana caranya? Mari kita pahami terlebih dahulu tentang garis lurus!

Gambar di atas merupakan grafik garis lurus dengan persamaan y = (-3/5)x + 3. Secara umum persamaan suatu garis lurus dinyatakan dalam dua bentuk umum yaitu:

Menghitung Luas Jajar Genjang

Pernahkah kalian melihat kue lapis dengan potongan seperti gambar di bawah ini?

Apabila kalian disuruh memilih salah satu dari kue tersebut, pastilah kalian memilih kue yang menurut kalian paling besar. Bagaimanakah cara kalian menentukan mana kue yang lebih besar? Mari kita pelajari!

Untuk menentukan kue mana yang lebih besar maka kita harus membandingkan luasnya. Sekarang pertanyaannya adalah manakah kue yang paling luas? Bagaimana cara mencari luas kue tersebut? Pehatikan dua kue diatas! Dua kue tersebut memiliki panjang dan tinggi yang sama yaitu panjang 6 cm dan tinggi 3 cm.

Menyelesaikan Masalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah salah satu topik yang dibahas pada jenjang SMP kelas VIII. Topik ini berkaitan erat dengan topik sistem persamaan linear satu variabel (SPLSV) dan garis lurus. Berikut ini akan dibahas beberapa contoh masalah SPLDV dan berbagai metode untuk menyelesaikan atau menjawabnya.

Contoh Masalah:

Suatu ketika Toni membeli satu tas dan dua pasang sepatu di salah satu toko di Surabaya. Toni harus membayar total Rp210.000,00. Dilain waktu, Silva membeli tiga tas dan satu pasang sepatu dengan merek yang sama dan di toko yang sama seharga total Rp390.000,00. Berapakah masing-masing harga tas dan sepatu tersebut?

Menghitung Luas Segitiga #1

Kali ini kita akan menghitung luas segitiga atau luas daerah segitiga. Ada banyak cara untuk menghitung luas segitiga mulai dari menggunakan alas dan tingginya sampai keliling dan fungsi trigonometri. Berikut ini adalah salah satu cara menghitung luas segitiga jika diketahui panjang alas dan tingginya:

Menghitung Luas Segitiga Cara #1

Diketahui suatu segitiga seperti gambar di bawah.

Bagaimanakah cara menghitung luas segitiga tersebut? Mari kita pelajari!

Andaikan kita memiliki dua segitiga yang sama yaitu ABC dan DEF dengan panjang alas a dan tinggi t. Apabila sisi BC dan sisi EF dihimpitkan maka dua segitiga tersebut akan membentuk jajar genjang dengan alas a dan tinggi t. Padahal luas jajar genjang tersebut sama dengan hasil kali panjang alas dan tinggi jajar genjang tersebut.

Pembuktian Teorema Pythagoras #1

Teorema Pythagoras cukup banyak dikenal dan telah banyak dipelajari mulai dari pelajar SD sampai pelajar tingkat perguruan tinggi. Berbagai macam metode pembuktian baik secara analitik maupun visual telah banyak beredar dan dipublikasikan melalui buku ataupun lewat dunia maya. Berikuti ini akan kita bahas salah satu metode pembuktian teorema Pythagoras yang cukup banyak dikenal, namun hanya sedikit yang benar-benar memahaminya. Perhatikan gambar berikut:

Sering sekali kita melihat gambar di atas yang merupakan salah satu cara membuktikan teorema Pythagoras. Namun, kebanyakan siswa hanyalah menerima bahwa teorema sudah terbukti dan gambar diatas hanya dilihat sekilas saja. Mari kita coba pahami proses pembuktian teorema Pythaggoras yang tersirat pada gambar di atas.

Gradien Garis Lurus: Derajat Kemiringan Garis

Perhatikan gambar keempat mobil berikut yang berjalan di jalan: 

Mobil-mobil tersebut sedang melewati jalan yang berbeda-beda. Mobil biru ada di jalan turunan yang cukup curam. Mobil oranye berada pada jalan yang rata dan landai. Mobil merah dan mobil hijau berada pada jalan menanjak tetapi jalan yang dilewati mobil merah jauh lebih landai. Jalan yang dilewati mobil hijau jauh lebih curam. Dalam geometri, untuk menyatakan tingkat kemiringan jalan apakah itu menurun, landai, naik , atau menanjak dinamakan gradien. Jika jalan yang dilewati mobil diatas bisa diandaikan sebagai suatu garis lurus maka gradien secara formal didefinisikan sebagai suatu nilai yang menyatakan derajat kamiringan suatu garis lurus.

Mencari Nilai Rata-Rata dari Data Tunggal atau Data Kelompok

Mencari nilai rata-rata suatu data sudah dipelajari sejak kelas 6 SD dimulai dengan mencari nilai rata-rata dari suatu data tunggal. Pada jenjang SMP dan SMA siswa akan dintuntut untuk bisa mencari nilai rata-rata dari suatu data yg direpresentasikan dengan grafik, tablel, ogif, atau diagram. Secara umum ada tiga jenis data yaitu data tunggal, data tunggal berfrekuensi, dan data kelompok. Berikut akan dipelajari cara mencari rata-rata dari ketiga jenis representasi data melalui contoh dari kehidupan sehari-hari:

a.       Mencari nilai rata-rata dari data tunggal (Mean)

Seorang guru menunjukkan data tinggi badan dari sembilan siswa yang akan ikut kompetisi olahraga. Data tinggi badan sembilan siswa tersebut dalam centimeter adalah: 150, 160, 155, 156, 152, 162, 158, 157, dan 161 cm.

Berapakah rata-rata tinggi badan siswa yang akan mengikuti kompetisi olahraga?