Pola Bilangan: Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika adalah sekelompok bilangan yang memiliki pola/aturan tertentu dan memiliki beda/selisih yang tetap untuk setiap dua suku yang berurutan. Apabila kita pahami definisi di atas, bebepa orang mungkin masih akan kesulitan membayangkan seperti apa itu barisan aritmetika. Oleh karena itu,  lihat contoh berikut:

Barisan Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, 10, ... (dan seterusnya). Memiliki beda yang konstan untuk setiap dua suku yang berurutan. Sederhananya, kita hanya perlu menambahkan 2 pada suku sebelumnya untuk menentukan/mendapatkan suku berikutnya.

Barisan berikut juga merupakan barisan aritmetika dengan beda -3 (Lihat gambar).

Lalu apa bedanya barisan aritmetika dengan deret aritmetika??? Barisan aritmetika dan deret aritmetika pada dasarnya sama. Perbedaannya adalah barisan aritmetika berupa sekelompok pola bilangan aritmetika yang di bariskan sedangkan pada deret aritmetika, bilangan-bilangan ini di jumlahkan. Lihat contoh berikut:

Barisan dan deret aritmetika biasanya digunakan pada topik kombinatorika dan suku banyak untuk merepresentasikan koefisien dari suatu suku banyak atau deret. Artikel kali ini akan membahas bagaimana cara mudah memahami barisan dan deret aritmetika. Beberapa rumus cepat atau cara cepat untuk menentukan pola barisan aritmetika dan menggunakannya dalam pemecahan masalah atau soal. Mari kita pelajari!

Jenis-Jenis Pola Bilangan dan Contohnya

Pernahkah kalian mendengar tentang pola bilangan? Dalam bahasa inggris pola disebut Pattern. Pola bilangan adalah aturan terbentuknya suatu kelompok bilangan. Apa maksudnya? Lihatlah contoh di bawah ini! Apabila kita perhatikan, banyak permen terus bertambah dari kiri ke kanan seperti membentuk suatu pola. Permen pada gambar berikutnya selalu bertambah satu sehingga mudah bagi kita untuk memprediksi berapa banyak permen pada gambar berikutnya.

Perhatikan banyak lingkaran berikut ini! Banyaknya lingkaran seperti membentuk suatu pola sehingga mudah bagi kita untuk menentukan banyak lingkaran berikutnya tanpa menggambarnya terlebih dahulu.

Pada contoh di atas, banyak permen dan banyak lingkaran mempunyai suatu pola atau aturan yang dapat digunakan untuk melanjutkan atau memprediksi berapa banyak permen atau lingkaran pada suku tertentu. Aturan yang demikian disebut sebagai pola bilangan.

Artikel kali ini akan membahas berbagai macam jenis pola bilangan yang mudah dikenal dan dipelajari. Pembuktian dari pola-pola bilangan berikut tidak akan dibahas secara mendetail kali ini tetapi mungkin akan dilakukan pada artikel berikutnya. Apa saja jenis pola bilangan tersebut?

Cara Mudah Membuktikan Bilangan Prima

Pada artikel terdahulu, saya pernah membahas tentang cara mudah untuk mencari bilangan prima dengan metode saringan. Namun, metode tersebut pun terbilang masih sangat tidak efisien untuk bilangan prima yang nilainya sampai ribuan atau bahkan jutaan. Pertanyaannya sekarang, adakah metode atau cara untuk mengecek bahwa suatu bilangan itu termasuk bilangan prima atau bukan? Ada banyak jawaban untuk pertanyaan ini. Berbagai metode saat ini telah banyak muncul untuk tertama metode dengan menggunakan komputer. Lalu bagaimana jika kita sedang ujian dan butuh secepatnya tahu apakah suatu bilangan termasuk bilangan prima tau bukan. Berikut ini akan kita bahas salah satu metode untuk mengecek atau membuktikan bilangan prima. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode ini berkaitan erat dengan teori bilangan jadi untuk pelajar tingkat SMA ataupun SMP bisa langsung melihat contoh penggunaannya tanpa melihat bagaimana pembuktian teorema berikut. Pasalnya, mungkin ada beberapa bagian yang agak sulit dipahami karena teori bilangan tidak secara khusus dibahas di tingkat SMP dan SMA. Teorema tersebut berbunyi sebagai berikut:

Integral Tertentu (Definite Integral): Luas Area yang Dibatasi oleh Kurva

Integral dalam kalkulus dapat dipandang dari dua sudut yaitu sudut pandang integral sebagai anti-derivative dan sudut pandang integral sebagai luasan area yang dibatasi oleh kurva. Sebagai anti-derivative, integral dikenal sebagai integral tak tentu (Indefinite Integral) sedangkan sebagai luasan area di bawah kurva, integral dikenal sebagai integral terntentu (Definite Integral). Kali ini kita akan membahas mengenai integral tertentu melalui pendekatan yang dilakukan oleh seorang matematikawan bernama Riemann.

Perhatikan kurva fungsi y = f(x) di atas! Pernahkah kalian berpikir bagaimana caranya menghitung luas daerah di bawah kurva tersebut? (Daerah yang diarsir biru). Ada berbagai macam cara yang dapat digunakan untuk menghitung luas area tersebut. Namun, metode yang digunakan oleh Newton, Leibniz, Riemann dkk untuk menghitung luas area tersebut telah melahirkan cabang ilmu kalkulus. Bagaimana caranya mereka menghitung luas area tersebut? Mari kita pelajari.

Untuk menghitung luas area tersebut, Riemann membuat persegi panjang seperti gambar berikut:

Pemrograman Linear: Metode Garis Selidik

Salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan untuk memecahkan masalah efisiensi produksi, waktu maupun distribusi adalah pemrograman linear. Pada masa perang dunia II, sejarah mencatat berkat keberhasilan para matematikawan memecahkan masalah pemrograman linear, Amerika mampu memenangi perang melawan Jepang karena lebih memiliki strategi yang efisien. Pemrograman linear sendiri konsep dasarnya sudah dipelajari sejak SMP kelas VIII. Namun, siswa baru benar-benar berkenalan dan belajar pemrograman linear di bangku SMA kelas XII.

Masalah pada pemrograman linear terbagi menjadi dua bagian yaitu constrains (kendala) dan fungsi tujuan. Fungsi tujuan berupa fungsi yang merujuk pada tujuan yang ingin dicapai seperti meminimalkan biaya produksi dan distribusi atau memaksimalkan keuntungan yang diperoleh. Sedangkan, kendala berperan sebagai batasan yang harus dipenuhi dalam mencapai tujuan misalnya total waktu produksi tidak lebih dari 24 jam atau banyaknya bahan produksi yang tersedia hanya 100 kg. Fungsi tujuan dalam pemrograman linear biasanya menuju pada dua tujuan yaitu memaksimalkan atau meminimalkan. Fungsi tujuan yang memaksimalkan biasanya berupa permasalahan tertang terbatasnya waktu, biaya, bahan, atau tenaga (sumber daya). Di lain pihak, fungsi tujuan yang meminimalkan biasanya berupa permasalahan tentang distribusi, biaya produksi, waktu yang diperlukan, dsb.

Masalah pemrograman linear biasanya disajikan dalam dua jenis yaitu 1) masalah dalam bentuk persamaan matematika dan 2) masalah dalam bentuk soal cerita. Untuk lebih mudah memahami tentang pemrograman linear, pada artikel ini akan dibahas satu contoh masalah terlebih dahulu yaitu contoh masalah dalam bentuk persamaan matematika. Sedangkan, masalah dalam bentuk soal cerita akan dibahas pada artikel lain.