Integral Tertentu (Definite Integral): Luas Area yang Dibatasi oleh Kurva

Integral dalam kalkulus dapat dipandang dari dua sudut yaitu sudut pandang integral sebagai anti-derivative dan sudut pandang integral sebagai luasan area yang dibatasi oleh kurva. Sebagai anti-derivative, integral dikenal sebagai integral tak tentu (Indefinite Integral) sedangkan sebagai luasan area di bawah kurva, integral dikenal sebagai integral terntentu (Definite Integral). Kali ini kita akan membahas mengenai integral tertentu melalui pendekatan yang dilakukan oleh seorang matematikawan bernama Riemann.

Perhatikan kurva fungsi y = f(x) di atas! Pernahkah kalian berpikir bagaimana caranya menghitung luas daerah di bawah kurva tersebut? (Daerah yang diarsir biru). Ada berbagai macam cara yang dapat digunakan untuk menghitung luas area tersebut. Namun, metode yang digunakan oleh Newton, Leibniz, Riemann dkk untuk menghitung luas area tersebut telah melahirkan cabang ilmu kalkulus. Bagaimana caranya mereka menghitung luas area tersebut? Mari kita pelajari.

Untuk menghitung luas area tersebut, Riemann membuat persegi panjang seperti gambar berikut:

Dengan menghitung luas persegi panjang tersebut Riemann berhasil menghitung luas areanya dengan tepat. Mungkin beberapa dari kalian bingung karena jelas sekali pada cara pertama, jumlah luas persegi panjang pasti kurang dari luas area di bawah kurva. Sedangkan pada cara kedua, jumlah luas persegi panjangnya pasti akan lebih besar dari luar area di bawah kurva yang sebenarnya. Kenyataannya memang seperti itu, tetapi Riemann membuatnya sedikit berbeda yaitu dengan cara membuat lebar persegi panjang semakin lama semakin kecil.

Dengan membuat lebar persegi panjang, dalam hal ini adalah delta x, semakin kecil maka perbedaan antara jumlah luas persegi panjang tersebut dengan luas area yang sebenarnya menjadi semakin kecil. Nah bagaimana kalau lebar persegi tersebut dibuat menjadi sangat sangat sangat dan sangat kecil sedemikian sehingga perbedaan antar jumlah luas persegi panjang dengan luas yang sesungguhnya menjadi 0?? Akibatnya tentu adalah jumlah luas persegi panjang menjadi sama dengan luas area di bawah kurva. Perhatikan gambar berikut!

Inilah yang kemudian disebut sebagai Integral tertentu fungsi y = f(x) pada interval [ a, b].

Leibniz kemudian merubah persamaan di atas menjadi simbol dan notasi yang baru untuk merepresentasikan integral tertentu suatu fungsi yaitu sebagai berikut:

Contoh soal:

Tentukan luas daerah yang dibatasi y = x² + 2, y = 0, x = 0 dan x = b!

Jawab:

Dengan menggunakan metode Riemann maka,

Karena

Sehingga,

Dengan demikian,

Jadi,

Apakah hasil ini sesuai dengan Teknik pengintegralan yang biasa dipakai? Mari kita cek!

Hasil integralnya sama dengan yang di atas. Pada prosesnya perhitungan dengan cara Riemann memiliki pola yaitu seperti di bawah ini. Oleh karena itu, proses pengintegralan suatu fungsi nantinya tidak perlu melalui proses limit seperti yang dijelaskan di atas.

Itulah konsep dasar intergral tertentu (Definite integral) sebagai pendekatan untuk mencari luas area yang dibatasi oleh kurva. Jika ada pertanyaan silahkan tulis di kolom komentar.