Kalkulus Differensial: Gradien Garis Singgung

Masalah dasar pada kalkulus differensial yaitu masalah mencari gradien garis singgung (tangent) suatu kurva. Misal diberikan suatu fungsi y = f(x) dan suatu titik pada kurva fungsi tersebut yaitu P( x₀, y₀). Bagaimanakah cara mencari gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik P ( x₀, y₀)? 

Untuk mencari gradien garis singgung pada suatu titik tertentu maka kita membutuhkan minimal dua titik pada garis singgung (Lihat artikel sebelumnya tentang gradien). Namun, kita hanya mempunyai satu titik yaitu titik P( x₀, y₀), titik kedua haruslah merupakan titik pada garis singgung dan dapat dicari menggunakan fungsi y = f(x). Hal ini tentu merupakan hal yang mustahil karena garis singgung selalu memotong kurva di satu titik. Lalu bagaimana cara mencari titik yang kedua agar gradien garis singgung di titik P( x₀, y₀) dapat ditentukan?

Perhatikan gambar di bawah ini! Untuk mencari gradien garis singgung, akan kita gunakan garis bantuan yang berupa tali busur kurva (Secant) yang memotong kurva di titik P( x₀, y₀) dan titik yang lain Q (x₁, y₁).

Gradien garis secant tentu saja mudah untuk dihitung yaitu:

Titik-titik P dan Q dapat dinyatakan menjadi:

Dengan mengubah titik Q menjadi hasil translasi titik P terhadap delta x, maka peran titik kedua (Q) dapat dihilangkan. Perhatikan gambar berikut! Jika delta x menjadi semakin kecil atau titk Q semakin medekati titik P maka garis secant akan bergerak mendekati ke arah garis singgung.

Pada keadaan ekstrim, bayangkan apa yang terjadi jika delta x menjadi bernilai 0? Tentuk titik Q akan menjadi titik P. Dan persamaan gradien garis secant akan menjadi milik persamaan garis singgung (tangent). Kenapa bisa begitu?

Jelas bahwa titik Q dan P adalah dua titik yang sama jika delta x = 0. Padahal titik P berada pada garis singgung maka titik Q juga berada pada garis singgung. Kita tahu bahwa persamaan gradien di atas dihitung berdasarkan titik Q dan P. Karena dua titik tersebut terletak pada garis singgung maka persamaan gradien di atas menjadi persamaan gradien milik garis singgung. Jadi, dengan membuat nilai delta x mendekati nol pada persamaan gradien, maka akan diperoleh gradien garis singgung di titik P.

Ini lah yang disebut the derivative of function f(x). Differensial fungsi f(x) yaitu f’(x).

Contoh soal:

Diketahui kurva y = f(x) = 2x² – 3x. Tentukan:

1. Differensial fungsi f(x) pada titik ( x, y)
2. Gradien garis singgung di titik ( 2, 2) 

Jawab:

1. Differensial fungsi f(x) yaitu f’(x) 
   
   Jadi, differensial fungsi f(x) = 2x² – 3x adalah f’(x) = 4x - 3
   
2. Gradien garis singgung kurva di titik ( 2, 2) adalah: 
   
   Jadi gradien garis singgung kurva di titik ( 2, 2) adalah 5.

Sekian Artikel kali ini, semoga membantu kalian yang sedang mempelajari topik di atas. Jika ada pertanyaan silahkan tulis di kolom komentar.