Kaidah Pencacahan: Metode Pengisian Tempat (Filling Slots)

Suatu saat Ani akan pergi ke taman bermain bersama teman-temannya. Namun, dia bingung memilih baju dan celana yang akan di pakai. Dia memiliki dua baju yang berwarna abu-abu dan warna merah. Sedangkan celananya ada tiga jenis yaitu celana warna biru, pink dan hijau. Pertama, Ani mencoba pasangan baju abu-abu dan celana hijau. Namun, kemudian dia mencoba lagi pasangan yang lain. Ani kemudian ingin mencoba semua pasangan baju yang mungkin dia pakai. Tahukah kalian sebenarnya berapa banyak pasanng baju dan celana yang mungkin dipakai oleh Ani?

Masalah diatas merupakan contoh masalah tentang kaidah pencacahan (counting rules). Ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menghitung banyak cara yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Metode-metode tersebut adalah: 1) Filling slots (Pengisian tempat/kaidah perkalian), 2) Permutasi, dan 3) Kombinasi. Topik kali ini hanya akan membahas satu metode dulu yaitu filling slots atau sering pula disebut sebagai kaidah pengisian tempat dan kaidah perkalian. Contoh masalah diatas tadi dapat pula diselesaikan dengan metode pengisian tempat. Bagaimana metode filling slots digunakan akan kita bahas nanti.

Untuk menyelesaikan masalah diatas sebenarnya bisa pula dengan menghitung manual yaitu dengan metode diagram pohon atau metode tabel. Berikut ini contoh menghitung pasangan baju yang mungkin dipakai dengan kedua metode tersebut:

1. Metode Tabel 
   
   Jadi Total semua ada 6 pasang baju yang mungkin dipakai Ani.
   
2. Metode Diagram Pohon 
   
   Jadi Total semua ada 6 pasang baju yang mungkin dipakai Ani.

Metode manual di atas cukup efektif untuk digunakan tetapi tidak efisien jika banyak baju dan celana sangatlah banyak atau mungkin ditambah kombinasi dari sepatu misalnya. Kalian harus menggambar atau menulis satu-persatu sampai semua pasang yang mungkin dapat dihitung. Oleh karena itu, munculah metode filling slots atau metode pengisian tempat.

Metode Pengisian Tempat / Filling Slots

Perhatikan dan baca kembali masalah Ani di atas. Ani akan memilih satu baju dan satu celana untuk dipakai dari 2 baju dan 3 celana berbeda yang dia miliki. Artinya Ada dua tempat yang perlu diisi yaitu slot untuk baju dan slot untuk celana.

Pada slot pilihan baju, Ani memiliki 2 pilihan baju yaitu warna abu-abu dan merah. Oleh karena itu, slot baju ditulis 2 karena Ani punya 2 pilihan baju. Sedangkan untuk slot pilihan celana, Ani memiliki 3 celana berbeda yaitu biru, pink, dan hijau. Oleh karena itu, slot celana ditulis 3 karena Ani memiliki 3 pilihan celana. Banyaknya pasangan yang mungkin diperoleh dengan cara mengalikan pilihan yang ada pada slots.

Jadi Ani memiliki 6 pasang baju dan celana yang mungkin dipakai.

Berdasarkan contoh di atas, secara umum Metode Pengisian Tempat (Filling Slots) yaitu sebagai berikut:

   Jika terdapat n buah tepat tersedia dengan:

         k₁ adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat pertama,

        k₂ adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat kedua, setelah tempat-tempat                   sebelumnya terisi.

        k₃ adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat ketiga, setelah tempat-tempat 

                 sebelumnya terisi.

            ...

         k_n adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat ke-n, setelah tempat-tempat 

                sebelumnya terisi.

   Maka banyak cara mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah

k₁ x k₂ x k₃ x … x k_n

Untuk lebih memahami metode pengisian tempat. Lihat dan pahamilah contoh berikut:

Contoh soal:

Diketahui angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Carilah banyak cara memilih tiga angka dari angka-angka tersebut agar:

1. Bilangan ribuan yang terbentuk tidak memiliki angka kembar
2. Bilangan yang terbentuk merupakan bilangan genap
3. Bilangan yang terbentuk adalah bilangan yang kurang dari 5000 dan tidak memiliki angka kembar.

Jawab:

Ada tiga tempat yang harus diisi yaitu

1. Bilangan ribuan yang terbentuk tidak memiliki angka kembar 
   
   Jadi total ada 7 x 6 x 5 = 210 bilangan ribuan tanpa angka kembar yang mungkin disusun.
   
2. Bilangan yang terbentuk merupakan bilangan genap 
   
   Jadi total ada 7 x 7 x 4 = 196 bilangan ribuan genap yang mungkin disusun.
   
3. Bilangan yang terbentuk adalah bilangan yang kurang dari 5000 dan tidak memiliki angka kembar 
   
   Jadi total ada 3 x 6 x 5 = 90 bilangan ribuan yang kurang dari 5000 dan tidak memiliki angka kembar yang mungkin disusun.

Sekian Artikel tentang metode pengisian tempat pada kaidah pencacahan. Metode permutasi dan kombinasi akan dibahas pada artikel berikutnya.