G analitc

Monday, June 11, 2012

TRIPLE PYTHAGORAS #2 (cara mudah menggunakan teorema pythagoras)

banyak orang tahu tentang rumus pythagoras,  a^2 + b^2 = c^2 , sangat simple dan mudah dipahami. bahkan cara menjelaskannya atau proses mendapatkan rumus tersebut pun ada berbagai macam cara yang variatif dan menarik. satu dengan yang lainnya memiliki keunggulan dan kelemahan masing-masing bagi siswa. salah satu teorinya sudah penulis bahas pada artikel TRIPLE PYTHAGORAS #3.

masih seputar teorema pythagoras tetapi berbeda dengan sebelumnya kali ini penulis akan membahas tentang cara yang efektif dalam menggunakan teorema tersebut. pertanyaan-pertanyaan berikut beberapa pembaca mungkin akan mengalami kesulitan dalam menjawab, terutama bagi siswa SD dan SMP, bahkan mungkin yang lebih tinggi jenjangnya contohnya "Bisakah teman-teman menyebutkan 100 triple pythagoras dalam waktu 5 menit? atau bahkan 1 menit?"  "bisakah teman-teman menjawab pertanyaan 'jika panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 82 dan salah satu sisi yang lain panjangnya 18 maka berapakah panjang sisi segitiga yang lainnya?' hanya dalam waktu kurang dari 10 detik? atau bahkan 5detik?"

tentulah teman-teman semua bisa, Insya Allah setelah membaca artikel ini teman-teman akan mampu menguasai caranya paling tidak 70%. mari kita bahas bersama...
Pendekatan Teori
pada dasarnya triple pythagoras itu diperoleh dengan cara menentukan nilai x dan y yang kemudian menghasilkan bilangan pythagoras berupa 2xy, x^{2}- y^{2}, dan x^{2}+y^{2} (baca selengkapnya disini). jika nilai x dan y yang disubstitusikan merupakan kelipatan dari nilai x dan y sebelumnya (misalnya x' dan y') maka akan diperoleh sebagai berikut: (bagi yang tidak familiar dengan teorema matematika langsung saja lanjut ke bawah, lewati tidak apa-apa)

misalkan




maka diperoleh
 sedangkan

 sedangkan


 terlihat bahwa hasil triple pythagoras hanyalah kelipatan dari triple pythagoras sebelumnya.

Intinya triple pythagoras yang dihasilkan merupakan kelipatan dari triple pythagoras yang lain. jadi bagi anda yang kesulitan dalam perkalian dengan menggunakan konsep ini maka pertanyaan-pertanyaan seputar triple pythagoras akan jadi lebih mudah, bahkan sangat mudah.

perhatikan!
sebutkan triple pythagoras yang teman-teman mampu hafal, bagi teman-teman yang sudah jago mungkin akan mudah, tetapi bagi yang lain mungkin hanya beberapa yang hafal contoh yang sering di hafal
3, 4, 5 karena  3^{2}+4^{2}=5^{2}
6, 8, 10
5, 12, 13
12, 16, 20
10, 24, 26 dsb
perhatikan contoh di atas, 3, 4, 5 tidak memiliki FPB, sedangkan 6, 8, 10 memiliki FPB yaitu 2, karena 6, 8, 10 dapat dibagi 2. coba teman-teman bagi 6, 8, 10 dengan 2 maka diperoleh  3, 4, 5    kenapa???
karena pada dasarnya 6, 8, 10 merupakan kelipatan 3, 4, 5.

perhatikan contoh 5, 12, 13 tidak memiliki FPB, sedangkan 10, 24, 26 memiliki FPB yaitu 2. coba teman-teman bagi 10, 24, 26 dengan 2 maka diperoleh 5, 12, 13. kenapa??? karena pada dasarnya  10, 24, 26 merupakan kelipatan dari 5, 12, 13.

begitu pula dengan 12, 16, 20 merupakan kelipatan 3, 4, 5 yang diperoleh dengan cara mengalikannya dengan bilangan 4.

kesimpulannya,  bilangan-bilangan pythagoras yang sangat banya namun sulit dihafal, tidak perlu dihafal semua, cukup dengan menghafal beberapa triple pythagoras dasar (penulis menyebutnya triple pythagoras dasar) maka triple pythagoras lain pun dapat ditentukan

bagaimana menghafal pythagoras dasar??  pythagoras dasar adalah triple pythagoras yang tidak memiliki FPB, contoh
3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
9, 40, 41 dst

cukup 5 triple pythagoras saja yang teman-teman hafal (contoh di atas adalah triple pythagoras yang sering digunakan, contoh lain dapat teman-teman temukan sendiri dan hafalkan) maka teman-teman akan mampu menyebutkan 100 pythagoras yang lain dalam waktu 5 menit, bahkan lebih cepat. bagaimana mungkin???  perhatikan!

3, 4, 5   dengan mengalikan triple pythagoras tersebut denga suatu bilangan real maka akan diperoleh bilangan pythagoras yang lain
(3, 4, 5)x2 = 6, 8, 10  merupakan triple pythagoras
(3, 4, 5)x3 = 9, 12, 15  merupakan triple pythagoras
(3, 4, 5)x4 = 12, 16, 20  merupakan triple pythagoras
dst( teman-teman coba sendiri )

(5, 12, 13)x2 = 10, 24, 26 merupakan triple pythagoras
(5, 12, 13)x3 = 15, 36, 39 merupakan triple pythagoras
(5, 12, 13)x10 = 50, 120, 130 merupakan triple pythagoras
dst

silahkan teman-teman coba sendiri ya,,,

untuk menggunakan cara ini, cukuplah mudah,
contoh soal 1
jika panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 82 dan salah satu sisi yang lain panjangnya 18 maka berapakah panjang sisi segitiga yang lainnya?
teman-teman cukup mencari FPB antara 82 dengan 18, yaitu 2, diperoleh 41 dan 9, jika teman-teman hafal maka triple pythagoras yang satunya pastilah 40 (tanpa menghitung). karena tadi dibagi 2 maka jawabanya 40 x 2 = 80. jadi salah satu sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 80.  mudah bukan??

contoh soal 2
jika panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 40 dan salah satu sisi yang lain panjangnya 24 maka berapakah panjang sisi segitiga yang lainnya?

teman-teman dapat dengan mudah tahu bahwa FPB 40 dan 24 adalah 8, jika kedua bilangan itu dibagi 8 maka diperoleh 5, 3. triple pythagoras yang satunya pastilah 4, karena tadi dibagi 8 maka hasilnya adalah 
4 x 8 = 32. tanpa hitung-hitungan yang rumit teman-teman mampu menyelesaikan soal dengan mudah tanpa corat-coret.

sekian posting dari saya semoga bermanfaat. ^^

NB: perlu diperhatikan penggunaan ini harus didasarkan pada pertanyaan dan soal, contohnya jika panjang sisi segitiga siku-siku adalah 3 dan 5, tetapi 5 bukan panjang sisi miring maka panjang sisi yang terakhir bukanlah 4.

SELAMAT MENCOBA
jangan lupa komentar ya

10 comments:

  1. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  2. thank u>>>> informasinya membantu bgt<<<<<

    ReplyDelete
  3. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  4. Pertanyaan di atas:
    bisakah teman-teman menjawab pertanyaan 'jika panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 82 dan salah satu sisi yang lain panjangnya 18 maka berapakah panjang sisi segitiga yang lainnya?' hanya dalam waktu kurang dari 10 detik? atau bahkan 5detik?

    Saya ngerjakannya: Panjang sisi ketiga = sqrt((82+18)(82-18))= sqrt(100.64) = 10.8 = 80
    Cara itu berlaku untuk setiap kali menghitung panjang satu sisi siku-siku jika panjang hipotenusa dan sisi siku-siku satunya diketahui? Mengapa? Ingat c^2 - a^2 = ( c+ a)(c - a)

    Contoh lain: Jika panjang suatu segitiga siku-siku hipotenusa 65 dan panjang salah satu sisi siku-siku 56, berapa panjang sisi siku-siku kedua?
    Panjang sisi siku-siku kedua = sqrt(65 + 56)(65 - 56) = sqrt (121.9) = 11 . 3 = 33.
    Bukankah , 33, 56, 65 tripel Pythagoras "dasar" yang tidak harus dihafal?

    Tentu kita tidak sulit menjawab soal serupa misalnya: Jika panjang suatu segitiga siku-siku hipotenusa 53 dan panjang salah satu sisi siku-siku 28, berapa panjang sisi siku-siku kedua?

    Terima kasih

    ReplyDelete
    Replies
    1. nice investigations,, salah satu metodenya bisa diaplikasikan,, hanya saja masalah terbatas untuk c^2-a^2. sama dengan posting saya juga terbatas kalau sisi hipotenusa-nya yang terpanjang dari triple itu.

      terima kasih sudah mampir :)

      Delete
  5. bagus2... makasih banyak yaa

    ReplyDelete
  6. Maksih mas info nya sangat membantu

    ReplyDelete

Penulis mengharapkan komentar, kritik, dan saran agar blog ini semakin baik kedepannya :)