Cara Mudah Menghitung Nilai Limit Suatu Fungsi: Dalil I'Hospital

Pernahkah kalian mendengar tentang dalil l’Hospital? Ya dalil ini berkaitan erat dengan topik matematika tentang limit. Dalil tersebut banyak dikenalkan oleh kalangan pengajar pada siswa sebagai suatu ‘cara cepat’ atau ‘cara mudah’ untuk menghitung nilai limit suatu fungsi. Walaupun pada prakteknya tetap saja ada banyak fungsi yang susa dicari nilai limitnya meski sudah menggunakan dalil atau metode l’Hospital. Seperti apakah dalil l’Hospital itu? Mari kita pelajari!

Untuk menghitung nilai limit suatu fungsi f(x) dimana x mendekati a, kita bisa menghitungnya dengan mensubstitusikan nilai x = a pada fungsi f(x) tersebut. Akan tetapi setelah disubstitusikan nilai x = a, beberapa fungsi justru menunjukkan hasil 0/0 yang artinya nilai limit fungsi tersebut tidak dapat diketahui. Padahal, terkadang sebenarnya grafik f(x) pada posisi x = a memiliki nilai limit yang jelas. Oleh karena itu, diperlukan metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi tersebut. Pada dasarnya ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi pada kasus di atas. Beberapa metode tersebut adalah metode pemfaktoran dan metode perkalian sekawan yang dapat dipelajari pada artikel sebelumnya (Klik disini). Namun, banyak siswa yang kurang bisa memahami proses yang panjang dari metode tersebut walaupun sebenarnya metode tersebut baik dan bagus untuk dipahami dan dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari kalkulus. Sebagai solusi banyak yang kemudia beralih menggunakan metode I’Hospital. Bagaimana cara penggunaan metode tersebut? Lihat contoh berikut.

Dalil I’Hospital

Carilah nilai limit dari fungsi berikut!

Cara Mencari Nilai Limit Suatu Fungsi

Limit merupakan salah satu topik matematika yang mulai dipelajari pada jenjang SMA kelas XI. Topik ini sangatlah penting karena menjadi dasar bagi mereka yang ingin belajar tentang kalkulus. Pada artikel kali ini, saya tidak akan membahas tentang definisi atau konsep dasar dari limit itu sendiri melainkan cara mencari atau menentukan nilai limit suatu fungsi dengan berbagai metode. Seperti yang sudah kita tahu, ada banyak cara atau metode untuk mencari nilai limit suatu fungsi tergantung dari karakteristik fungsi ang akan dicari nilai limitnya. Oke, langsung saja mari kita pelajari!

Metode Substitusi

Pada dasarnya untuk mencari nilai limit suatu fungsi misalnya untuk x mendekati a maka nilai limit fungsi tersebut dapat diperoleh dengan cara men-substitusi-kan nilai x = a pada fungsi tersebut. Contoh penggunaan metode substitusi yaitu sebagai berikut:

Contoh Soal 1:

Carilah nilai limit fungsi berikut!

Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku: Teorema Air Mancur

Pernahkah kalian mendengar tentang metode/teorema air mancur pada saat mempelajari topik kesebangunan? Metode air mancur adalah suatu teorema kesebangunan yang berlaku pada segitiga siku-siku. Metode ini biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah kesebangunan pada segitiga siku-siku seperti mencari panjang sisi miring, tinggi segitiga atau panjang ruas garis pada sisi segitiga. Kenapa metode ini dinamakan teorema air mancur? Saya pun kurang tau kenapa dan siapa yang pertama kali mencetuskan nama “air mancur”. Tapi, menurut prediksi saya nama tersebut dipakai agar mudah menghafal isi daripada teorema tersebut. Seperti apa metode air mancur itu? Mari kita pelajari!

Perhatikan segitiga siku-siku di atas! Pada segitiga tersebut berlaku hubungan yaitu:

1.      Bayangkan AC sebagai tiang air mancur maka air mancur tersebut akan menyembur keluar dari titik C ke titik yang lainnya (Lihat gambar di bawah ini) yaitu (a) dari titik C ke titik D dan (b) dari titik C ke titik B. Hal tersebut berarti kuadrat panjang AC sama dengan hasil perkalian panjang ruas CD (air mancur C ke D) dan panjang ruas CB (air mancur dari C ke B). Hubungan tersebut ditulis sebagai berikut:

Cara Mudah Mencari Triple Pythagoras #1

Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentanng bagaimana mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan dari triple pythagoras dasar. Bagi yang belum membaca artikel tersebut bisa klik link ini. Ada banyak metode untuk mecari triple pythagoras yang telah dipublikasikan oleh banyak matematikawan sejak dulu. Metode yang akan kita pelajari kali ini terkenal karena pernah muncul pada salah satu tablet yang dibuat pada masa Babilonia. Tablet ini dinamakan tablet Plimton 322 dan diperkirakan dibuat pada sekitar tahun 1900 SM – 1600 SM. Tablet ini berisi berbagai macam triple pythagoras primitif atau triple pythagoras dasar seperti (3, 4, 5). Jika kita biasa mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan triple pythagoras dasar/primitif maka metode kali ini akan menghasilkan triple pythagoras dasar/primitif tersebut. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode tersebut yaitu sebagai berikut:

Jika u ,v adalah bilangan bulat positif dimana u > v dan u tidak sama dengan v maka

a = 2uv          b = u² – v²          dan   c = u² + v²

a, b, c adalah triple pythagoras.

Teorema Pythagoras dan Contoh Penggunaannya

Teorema Pythagoras adalah teorema yang paling dikenal cukup luas mulai dari kalangan pelajar SD sampai perguruan tinggi. Bukti dari teorema ini pun sudah banyak sekali. Salah satu bukti teorema Pythagoras dapat dilihat pada artikel sebelumnya di blog ini. Teorema ini pun muncul pada preposisi no 48 buku Euclid Elements. Dalam buku tersebut teorema Pythagoras dituliskan sebagai berikut:

“If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sides of the triangle, the angle contained by the remaining two sides is right”

Kurang lebih artinya adalah “jika dalam suatu segitiga, kuadrat pada salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat pada dua sisi yang lainnya pada segitiga tersebut, maka sudut yang diapit oleh dua sisi lainnya tersebut adalah siku-siku”. Secara singkat, kita lebih seringmendengan teorema Pythagoras sebagai berikut:

“Pada segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang mengapit sudut siku-siku sama dengan kuadrat dari panjang sisi miring (terpanjang) segitiga tersebut”

Untuk lebih mudahmemahaminya, lihat gambar berikut: