Pola Bilangan: Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika adalah sekelompok bilangan yang memiliki pola/aturan tertentu dan memiliki beda/selisih yang tetap untuk setiap dua suku yang berurutan. Apabila kita pahami definisi di atas, bebepa orang mungkin masih akan kesulitan membayangkan seperti apa itu barisan aritmetika. Oleh karena itu,  lihat contoh berikut:

Barisan Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, 10, ... (dan seterusnya). Memiliki beda yang konstan untuk setiap dua suku yang berurutan. Sederhananya, kita hanya perlu menambahkan 2 pada suku sebelumnya untuk menentukan/mendapatkan suku berikutnya.

Barisan berikut juga merupakan barisan aritmetika dengan beda -3 (Lihat gambar).

Lalu apa bedanya barisan aritmetika dengan deret aritmetika??? Barisan aritmetika dan deret aritmetika pada dasarnya sama. Perbedaannya adalah barisan aritmetika berupa sekelompok pola bilangan aritmetika yang di bariskan sedangkan pada deret aritmetika, bilangan-bilangan ini di jumlahkan. Lihat contoh berikut:

Barisan dan deret aritmetika biasanya digunakan pada topik kombinatorika dan suku banyak untuk merepresentasikan koefisien dari suatu suku banyak atau deret. Artikel kali ini akan membahas bagaimana cara mudah memahami barisan dan deret aritmetika. Beberapa rumus cepat atau cara cepat untuk menentukan pola barisan aritmetika dan menggunakannya dalam pemecahan masalah atau soal. Mari kita pelajari!

Jenis-Jenis Pola Bilangan dan Contohnya

Pernahkah kalian mendengar tentang pola bilangan? Dalam bahasa inggris pola disebut Pattern. Pola bilangan adalah aturan terbentuknya suatu kelompok bilangan. Apa maksudnya? Lihatlah contoh di bawah ini! Apabila kita perhatikan, banyak permen terus bertambah dari kiri ke kanan seperti membentuk suatu pola. Permen pada gambar berikutnya selalu bertambah satu sehingga mudah bagi kita untuk memprediksi berapa banyak permen pada gambar berikutnya.

Perhatikan banyak lingkaran berikut ini! Banyaknya lingkaran seperti membentuk suatu pola sehingga mudah bagi kita untuk menentukan banyak lingkaran berikutnya tanpa menggambarnya terlebih dahulu.

Pada contoh di atas, banyak permen dan banyak lingkaran mempunyai suatu pola atau aturan yang dapat digunakan untuk melanjutkan atau memprediksi berapa banyak permen atau lingkaran pada suku tertentu. Aturan yang demikian disebut sebagai pola bilangan.

Artikel kali ini akan membahas berbagai macam jenis pola bilangan yang mudah dikenal dan dipelajari. Pembuktian dari pola-pola bilangan berikut tidak akan dibahas secara mendetail kali ini tetapi mungkin akan dilakukan pada artikel berikutnya. Apa saja jenis pola bilangan tersebut?

Cara Mudah Menghitung Nilai Limit Suatu Fungsi: Dalil I'Hospital

Pernahkah kalian mendengar tentang dalil l’Hospital? Ya dalil ini berkaitan erat dengan topik matematika tentang limit. Dalil tersebut banyak dikenalkan oleh kalangan pengajar pada siswa sebagai suatu ‘cara cepat’ atau ‘cara mudah’ untuk menghitung nilai limit suatu fungsi. Walaupun pada prakteknya tetap saja ada banyak fungsi yang susa dicari nilai limitnya meski sudah menggunakan dalil atau metode l’Hospital. Seperti apakah dalil l’Hospital itu? Mari kita pelajari!

Untuk menghitung nilai limit suatu fungsi f(x) dimana x mendekati a, kita bisa menghitungnya dengan mensubstitusikan nilai x = a pada fungsi f(x) tersebut. Akan tetapi setelah disubstitusikan nilai x = a, beberapa fungsi justru menunjukkan hasil 0/0 yang artinya nilai limit fungsi tersebut tidak dapat diketahui. Padahal, terkadang sebenarnya grafik f(x) pada posisi x = a memiliki nilai limit yang jelas. Oleh karena itu, diperlukan metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi tersebut. Pada dasarnya ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi pada kasus di atas. Beberapa metode tersebut adalah metode pemfaktoran dan metode perkalian sekawan yang dapat dipelajari pada artikel sebelumnya (Klik disini). Namun, banyak siswa yang kurang bisa memahami proses yang panjang dari metode tersebut walaupun sebenarnya metode tersebut baik dan bagus untuk dipahami dan dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari kalkulus. Sebagai solusi banyak yang kemudia beralih menggunakan metode I’Hospital. Bagaimana cara penggunaan metode tersebut? Lihat contoh berikut.

Dalil I’Hospital

Carilah nilai limit dari fungsi berikut!

Cara Mencari Nilai Limit Suatu Fungsi

Limit merupakan salah satu topik matematika yang mulai dipelajari pada jenjang SMA kelas XI. Topik ini sangatlah penting karena menjadi dasar bagi mereka yang ingin belajar tentang kalkulus. Pada artikel kali ini, saya tidak akan membahas tentang definisi atau konsep dasar dari limit itu sendiri melainkan cara mencari atau menentukan nilai limit suatu fungsi dengan berbagai metode. Seperti yang sudah kita tahu, ada banyak cara atau metode untuk mencari nilai limit suatu fungsi tergantung dari karakteristik fungsi ang akan dicari nilai limitnya. Oke, langsung saja mari kita pelajari!

Metode Substitusi

Pada dasarnya untuk mencari nilai limit suatu fungsi misalnya untuk x mendekati a maka nilai limit fungsi tersebut dapat diperoleh dengan cara men-substitusi-kan nilai x = a pada fungsi tersebut. Contoh penggunaan metode substitusi yaitu sebagai berikut:

Contoh Soal 1:

Carilah nilai limit fungsi berikut!

Cara Mudah Mencari Triple Pythagoras #1

Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentanng bagaimana mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan dari triple pythagoras dasar. Bagi yang belum membaca artikel tersebut bisa klik link ini. Ada banyak metode untuk mecari triple pythagoras yang telah dipublikasikan oleh banyak matematikawan sejak dulu. Metode yang akan kita pelajari kali ini terkenal karena pernah muncul pada salah satu tablet yang dibuat pada masa Babilonia. Tablet ini dinamakan tablet Plimton 322 dan diperkirakan dibuat pada sekitar tahun 1900 SM – 1600 SM. Tablet ini berisi berbagai macam triple pythagoras primitif atau triple pythagoras dasar seperti (3, 4, 5). Jika kita biasa mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan triple pythagoras dasar/primitif maka metode kali ini akan menghasilkan triple pythagoras dasar/primitif tersebut. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode tersebut yaitu sebagai berikut:

Jika u ,v adalah bilangan bulat positif dimana u > v dan u tidak sama dengan v maka

a = 2uv          b = u² – v²          dan   c = u² + v²

a, b, c adalah triple pythagoras.

Teorema Pythagoras dan Contoh Penggunaannya

Teorema Pythagoras adalah teorema yang paling dikenal cukup luas mulai dari kalangan pelajar SD sampai perguruan tinggi. Bukti dari teorema ini pun sudah banyak sekali. Salah satu bukti teorema Pythagoras dapat dilihat pada artikel sebelumnya di blog ini. Teorema ini pun muncul pada preposisi no 48 buku Euclid Elements. Dalam buku tersebut teorema Pythagoras dituliskan sebagai berikut:

“If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sides of the triangle, the angle contained by the remaining two sides is right”

Kurang lebih artinya adalah “jika dalam suatu segitiga, kuadrat pada salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat pada dua sisi yang lainnya pada segitiga tersebut, maka sudut yang diapit oleh dua sisi lainnya tersebut adalah siku-siku”. Secara singkat, kita lebih seringmendengan teorema Pythagoras sebagai berikut:

“Pada segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang mengapit sudut siku-siku sama dengan kuadrat dari panjang sisi miring (terpanjang) segitiga tersebut”

Untuk lebih mudahmemahaminya, lihat gambar berikut:

Cara Mudah Membuktikan Bilangan Prima

Pada artikel terdahulu, saya pernah membahas tentang cara mudah untuk mencari bilangan prima dengan metode saringan. Namun, metode tersebut pun terbilang masih sangat tidak efisien untuk bilangan prima yang nilainya sampai ribuan atau bahkan jutaan. Pertanyaannya sekarang, adakah metode atau cara untuk mengecek bahwa suatu bilangan itu termasuk bilangan prima atau bukan? Ada banyak jawaban untuk pertanyaan ini. Berbagai metode saat ini telah banyak muncul untuk tertama metode dengan menggunakan komputer. Lalu bagaimana jika kita sedang ujian dan butuh secepatnya tahu apakah suatu bilangan termasuk bilangan prima tau bukan. Berikut ini akan kita bahas salah satu metode untuk mengecek atau membuktikan bilangan prima. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode ini berkaitan erat dengan teori bilangan jadi untuk pelajar tingkat SMA ataupun SMP bisa langsung melihat contoh penggunaannya tanpa melihat bagaimana pembuktian teorema berikut. Pasalnya, mungkin ada beberapa bagian yang agak sulit dipahami karena teori bilangan tidak secara khusus dibahas di tingkat SMP dan SMA. Teorema tersebut berbunyi sebagai berikut:

Sifat-Sifat Logaritma, Contoh, dan Pembuktiannya

Tahukah kalian apa itu logaritma? Apabila diketahui jika a ^m = b maka logaritma didefinisikan sebagai berikut: ^a log b = m . Logaritma digunakan untuk mengoperasikan pangkat suatu bilangan.

Seperti hanya eksponen, a pada logaritma disebut pula bilangan pokok. Sementara b disebut numerus dan m adalah hasil logaritman yang merupakan pangkat pada bentuk eksponen. Contoh logaritma yaitu sebagai berikut:

Sebagai tambahan pengetahuan gambar di atas merupakan salah satu grafik fungsi logaritma (y = log x). Logaritma memiliki beberapa sifat yang berlaku seperti halnya eksponen. Berikut ini akan kita bahas sifat-sifat dari logaritma dan buktinya.

Sifat-Sifat Eksponen (Bilangan Bentuk Pangkat)

Eksponen adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a ^m = a.a.a.a. ... (Sebanyak m faktor) dimana a > 0 dan a tidak sama dengan 1. a kemudia disebut bilangan pokok dan m adalah pangkat.

Bilangan eksponen memiliki beberapa sifat pada operasi perkalian dan pembagian. Misalkan m dan n adalah bilangan bulat maka:

1.  a ^m . a ⁿ = a ^{m + n} 

Contoh: 3⁴ . 3² = 3 ⁴⁺² = 3 ⁶

Kenapa bisa begitu? Bukti:

Terbukti.

Memfaktorkan dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Tahukah anda tentang persamaan kuadrat? Salah satu topik tentang aljabar yang mulai diajarkan pada siswa SMP kelas VIII. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum (baku) yaitu

Persamaan kudrat sangat sering dipakai dalam matematika analitik. Salah satu masalah yang paling sering muncul yaitu bagaimana cara memfaktorkan suatu persamaan kuadrat. Memfaktorkan merupakan salah satu metode untuk menemukan solusi dari persamaan kuadrat. Untuk bisa mendapatkan solusi atau himpunan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat maka proses pemfaktoran harus dilewati. Kecuali jika menggunakan rumus secara langsung. Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat? Adakah cara cepat memfaktorkan persamaan kuadrat? Mari kita pelajari bersama!

Perlu diperhatikan jika pada jenjang SMP masalah yangn muncul hanyalah memfaktorkan. Menentukan penyelesaian dan nilai x nya baru akan diajarkan pada jenjang SMA kelas X. Akan tetapi tidak ada salahnya melihat dan mempelajari sedikit tentang topik tersebut.

Cara Mudah Menentukan Persamaan Garis Lurus

Menentukan persamaan garis lurus adalah salah satu topik matematika pada jenjang SMP kelas VIII. Topik ini terbilang cukup sulit bagi yang kurang memahami konsep garis lurus dan hanya berpaku pada penggunaan rumus. Padahal materi ini cukup mudah bagi mereka yang sudah memahami konsep dasarnya. Bahkan, untuk menentukan persamaan suatu garis yang misalnya hanya diketahui dua titik yang dilewati, gradien, dsb, tidak perlu menggunakan rumus yang berbeda-beda. Bagaimana caranya? Mari kita pahami terlebih dahulu tentang garis lurus!

Gambar di atas merupakan grafik garis lurus dengan persamaan y = (-3/5)x + 3. Secara umum persamaan suatu garis lurus dinyatakan dalam dua bentuk umum yaitu:

Integral Tertentu (Definite Integral): Luas Area yang Dibatasi oleh Kurva

Integral dalam kalkulus dapat dipandang dari dua sudut yaitu sudut pandang integral sebagai anti-derivative dan sudut pandang integral sebagai luasan area yang dibatasi oleh kurva. Sebagai anti-derivative, integral dikenal sebagai integral tak tentu (Indefinite Integral) sedangkan sebagai luasan area di bawah kurva, integral dikenal sebagai integral terntentu (Definite Integral). Kali ini kita akan membahas mengenai integral tertentu melalui pendekatan yang dilakukan oleh seorang matematikawan bernama Riemann.

Perhatikan kurva fungsi y = f(x) di atas! Pernahkah kalian berpikir bagaimana caranya menghitung luas daerah di bawah kurva tersebut? (Daerah yang diarsir biru). Ada berbagai macam cara yang dapat digunakan untuk menghitung luas area tersebut. Namun, metode yang digunakan oleh Newton, Leibniz, Riemann dkk untuk menghitung luas area tersebut telah melahirkan cabang ilmu kalkulus. Bagaimana caranya mereka menghitung luas area tersebut? Mari kita pelajari.

Untuk menghitung luas area tersebut, Riemann membuat persegi panjang seperti gambar berikut:

Kalkulus Differensial: Gradien Garis Singgung

Masalah dasar pada kalkulus differensial yaitu masalah mencari gradien garis singgung (tangent) suatu kurva. Misal diberikan suatu fungsi y = f(x) dan suatu titik pada kurva fungsi tersebut yaitu P( x₀, y₀). Bagaimanakah cara mencari gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik P ( x₀, y₀)? 

Untuk mencari gradien garis singgung pada suatu titik tertentu maka kita membutuhkan minimal dua titik pada garis singgung (Lihat artikel sebelumnya tentang gradien). Namun, kita hanya mempunyai satu titik yaitu titik P( x₀, y₀), titik kedua haruslah merupakan titik pada garis singgung dan dapat dicari menggunakan fungsi y = f(x). Hal ini tentu merupakan hal yang mustahil karena garis singgung selalu memotong kurva di satu titik. Lalu bagaimana cara mencari titik yang kedua agar gradien garis singgung di titik P( x₀, y₀) dapat ditentukan?

Pembuktian Teorema Pythagoras #1

Teorema Pythagoras cukup banyak dikenal dan telah banyak dipelajari mulai dari pelajar SD sampai pelajar tingkat perguruan tinggi. Berbagai macam metode pembuktian baik secara analitik maupun visual telah banyak beredar dan dipublikasikan melalui buku ataupun lewat dunia maya. Berikuti ini akan kita bahas salah satu metode pembuktian teorema Pythagoras yang cukup banyak dikenal, namun hanya sedikit yang benar-benar memahaminya. Perhatikan gambar berikut:

Sering sekali kita melihat gambar di atas yang merupakan salah satu cara membuktikan teorema Pythagoras. Namun, kebanyakan siswa hanyalah menerima bahwa teorema sudah terbukti dan gambar diatas hanya dilihat sekilas saja. Mari kita coba pahami proses pembuktian teorema Pythaggoras yang tersirat pada gambar di atas.

Metode Permutasi dan Faktorial Bilangan Asli

Suatu ketika kepala sekolah SMP Serayu akan membentuk kepanitiaan yang terdiri dari ketua, sekertaris dan bendahara dari 10 orang yang mencalonkan diri. Kepala sekolah tersebut pun mecoba-coba kemungkinan panitia yang bisa dia susun dengan ketujuh orang tersebut. Kemudian, kepala sekolah tersebut membuat list panitia yang dia susun. Namun, dia mulai kebingungan berapa banyak sebenarnya susunan yanng dapat dibuat untuk posisi ketua, bendahara, dan sekertaris dari ketujuh orang tersebut.

Masalah di atas merupakan contoh masalah yang bisa diselesaikan dengan kaidah pencacahan metode pengisian tempat atau metode permutasi. Metode pencacahan telah dijelaskan pada artikel sebelumnya. Oleh karena itu, kali ini kita akan belajar metode permutasi. Namun sebelum masuk pada penggunaan metode permutasi, perlu diketahui terlebih dahulu tentang faktorial bilangan asli.

Kaidah Pencacahan: Metode Pengisian Tempat (Filling Slots)

Suatu saat Ani akan pergi ke taman bermain bersama teman-temannya. Namun, dia bingung memilih baju dan celana yang akan di pakai. Dia memiliki dua baju yang berwarna abu-abu dan warna merah. Sedangkan celananya ada tiga jenis yaitu celana warna biru, pink dan hijau. Pertama, Ani mencoba pasangan baju abu-abu dan celana hijau. Namun, kemudian dia mencoba lagi pasangan yang lain. Ani kemudian ingin mencoba semua pasangan baju yang mungkin dia pakai. Tahukah kalian sebenarnya berapa banyak pasanng baju dan celana yang mungkin dipakai oleh Ani?

Masalah diatas merupakan contoh masalah tentang kaidah pencacahan (counting rules). Ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menghitung banyak cara yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Metode-metode tersebut adalah: 1) Filling slots (Pengisian tempat/kaidah perkalian), 2) Permutasi, dan 3) Kombinasi. Topik kali ini hanya akan membahas satu metode dulu yaitu filling slots atau sering pula disebut sebagai kaidah pengisian tempat dan kaidah perkalian. Contoh masalah diatas tadi dapat pula diselesaikan dengan metode pengisian tempat. Bagaimana metode filling slots digunakan akan kita bahas nanti.

Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Artikel kali ini akan membahas cara mudah menggambar grafik fungsi kuadrat pada bidang koordinat kartesius. Materi ini diajarkan pada jenjang SMA kelas X. Sebelum kita mulai menggambar grafik fungsi kuadrat, perlu diingat kembali beberapa konsep tentang fungsi kuadrat. Apa sajakah itu?

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum yaitu f(x) = ax² + bx + c dengan nilai a tidak sama dengan 0. Fungsi kuadrat memiliki nilai determinan (D) yang dapat dihitung dengan cara D = b² – 4ac  . Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki banyak dan jenis akar penyelesaian persamaan kuadrat yang diperoleh dari fungsi kuadrat, yang dibedakan menjadi tiga yaitu:

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda
2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer (tidak real).

Akar penyelesaian suatu persamaan kuadrat sejatinya juga merupakan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Oleh karena itu, jika D > 0 maka grafik akan memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jika D = 0 maka grafik akan memotong sumbu X di satu titik alias menyinggung sumbu X. Jika D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu X.

Pemrograman Linear: Metode Garis Selidik

Salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan untuk memecahkan masalah efisiensi produksi, waktu maupun distribusi adalah pemrograman linear. Pada masa perang dunia II, sejarah mencatat berkat keberhasilan para matematikawan memecahkan masalah pemrograman linear, Amerika mampu memenangi perang melawan Jepang karena lebih memiliki strategi yang efisien. Pemrograman linear sendiri konsep dasarnya sudah dipelajari sejak SMP kelas VIII. Namun, siswa baru benar-benar berkenalan dan belajar pemrograman linear di bangku SMA kelas XII.

Masalah pada pemrograman linear terbagi menjadi dua bagian yaitu constrains (kendala) dan fungsi tujuan. Fungsi tujuan berupa fungsi yang merujuk pada tujuan yang ingin dicapai seperti meminimalkan biaya produksi dan distribusi atau memaksimalkan keuntungan yang diperoleh. Sedangkan, kendala berperan sebagai batasan yang harus dipenuhi dalam mencapai tujuan misalnya total waktu produksi tidak lebih dari 24 jam atau banyaknya bahan produksi yang tersedia hanya 100 kg. Fungsi tujuan dalam pemrograman linear biasanya menuju pada dua tujuan yaitu memaksimalkan atau meminimalkan. Fungsi tujuan yang memaksimalkan biasanya berupa permasalahan tertang terbatasnya waktu, biaya, bahan, atau tenaga (sumber daya). Di lain pihak, fungsi tujuan yang meminimalkan biasanya berupa permasalahan tentang distribusi, biaya produksi, waktu yang diperlukan, dsb.

Masalah pemrograman linear biasanya disajikan dalam dua jenis yaitu 1) masalah dalam bentuk persamaan matematika dan 2) masalah dalam bentuk soal cerita. Untuk lebih mudah memahami tentang pemrograman linear, pada artikel ini akan dibahas satu contoh masalah terlebih dahulu yaitu contoh masalah dalam bentuk persamaan matematika. Sedangkan, masalah dalam bentuk soal cerita akan dibahas pada artikel lain.

Gradien Garis Lurus: Derajat Kemiringan Garis

Perhatikan gambar keempat mobil berikut yang berjalan di jalan: 

Mobil-mobil tersebut sedang melewati jalan yang berbeda-beda. Mobil biru ada di jalan turunan yang cukup curam. Mobil oranye berada pada jalan yang rata dan landai. Mobil merah dan mobil hijau berada pada jalan menanjak tetapi jalan yang dilewati mobil merah jauh lebih landai. Jalan yang dilewati mobil hijau jauh lebih curam. Dalam geometri, untuk menyatakan tingkat kemiringan jalan apakah itu menurun, landai, naik , atau menanjak dinamakan gradien. Jika jalan yang dilewati mobil diatas bisa diandaikan sebagai suatu garis lurus maka gradien secara formal didefinisikan sebagai suatu nilai yang menyatakan derajat kamiringan suatu garis lurus.

Mencari Nilai Rata-Rata dari Data Tunggal atau Data Kelompok

Mencari nilai rata-rata suatu data sudah dipelajari sejak kelas 6 SD dimulai dengan mencari nilai rata-rata dari suatu data tunggal. Pada jenjang SMP dan SMA siswa akan dintuntut untuk bisa mencari nilai rata-rata dari suatu data yg direpresentasikan dengan grafik, tablel, ogif, atau diagram. Secara umum ada tiga jenis data yaitu data tunggal, data tunggal berfrekuensi, dan data kelompok. Berikut akan dipelajari cara mencari rata-rata dari ketiga jenis representasi data melalui contoh dari kehidupan sehari-hari:

a.       Mencari nilai rata-rata dari data tunggal (Mean)

Seorang guru menunjukkan data tinggi badan dari sembilan siswa yang akan ikut kompetisi olahraga. Data tinggi badan sembilan siswa tersebut dalam centimeter adalah: 150, 160, 155, 156, 152, 162, 158, 157, dan 161 cm.

Berapakah rata-rata tinggi badan siswa yang akan mengikuti kompetisi olahraga?