Metode Pembuktian: Induksi Matematik

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian teorema yang banyak paling sering digunakan dalam teori bilangan. Teorema-teorema yang dapat dibuktikan dengan menggunakan metode induksi matematik adalah teorema dengan semesta pembicaraan atau domain himpunan bilangan bulat, lebih khusus yaitu bilangan cacah. Metode yang digunakan yaitu dengan membuktikan bahwa teorema berlaku untuk satu kondisi awal (n₀). Kemudian, dibuktikan bahwa teorema berlaku untuk n_i yang selanjutnya. Oleh karena itu, pada proses pembuktian harus dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Misalkan: akan dibuktikan teorema P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli

1. Buktikan bahwa P(1) adalah benar/berlaku. Kenapa n = 1? Karena semesta teorema P(n) adalah bilangan asli maka P(n) harus dibuktikan benar untuk kondisi awal n = 1.
2. Asumsikan bahwa untuk suatu bilangan asli k maka P(k) adalah benar. Kemudian buktikan bahwa jika P(k) adalah benar maka P(k+1) juga benar.

Jika poin 1 dan 2 terpenuhi maka teorema P(n) terbukti berlaku untuk setiap bilangan asli n. Beberapa orang yang baru mengenal metode induksi matematik mungkin bertanya-tanya “Mengapa dengan terpenuhinya langkah 1 dan 2 menjadikan teorema P(n) berlaku untuk semua bilangan asli n?” Jawabannya cukup simple. Secara logika, pda kondisi awal dengan nilai n terkecil telah diketahui bahwa teorema bernilai benar. Jika dengan P(k) bernilai benar dan P(k+1) terbukti benar maka dua poin ini akan berakibat:

Untuk lebih jauh mengenal dan mempelajari metode pembukatian induksi matematik, mari kita lihat beberapa contoh teorema yang bisa dibuktikan dengan induksi matematik.

Contoh 1:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

Jawab:

Langkah 1

Langkah 2

Asumsikan untuk bilangan asli k maka P(k) adalah benar. Akan dibuktikan jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar untuk suatu bilangan asli k.

Jadi, terbukti jika P(k) benar maka P(k+1) juga bernilai benar untuk suatu bilangan asli k.

Dari hasil langkah 1 dan 2 maka berakibat bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 2:

Buktikan bahwa P(n) = 7ⁿ – 2ⁿ  terbagi habis oleh 5 untuk setiap bilangan cacah!

Jawab:

Langkah 1

N terkecil yaitu n = 0 maka P(0) = 7⁰ – 2⁰ = 1- 1 = 0 dan 5|0.

Jadi terbukti P(n) benar untuk n = 0. *note ( 5|0 adalah notasi  yang artinya 5 membagi 0)

Langkah 2

Asumsikan bahwa untuk bilangan cacah t maka P(t) = 7^t – 2^t  terbagi oleh 5. Akan dibuktikan bahwa P(t+1) = 7^t+1 – 2^t+1  juga terbagi oleh 5.

Oleh karena itu, 5 | 7^t+1 – 2^t+1. Jadi jika P(t) untuk suatu bilangan cacah t benar maka P(t+1) juga benar.

Dari langkah 1 dan langkah 2, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) = 7ⁿ – 2ⁿ terbukti selalu terbagi oleh 5 untuk setiap bilangan cacah n.

Jika ada pertanyaan, kritik, atau saran silahkan tulis di kolom komentar. Topik induksi matematik akan dibahas lagi pada artikel dan kesempatan yang lain.