Cara Mudah Menghitung Nilai Limit Suatu Fungsi: Dalil I'Hospital

Pernahkah kalian mendengar tentang dalil l’Hospital? Ya dalil ini berkaitan erat dengan topik matematika tentang limit. Dalil tersebut banyak dikenalkan oleh kalangan pengajar pada siswa sebagai suatu ‘cara cepat’ atau ‘cara mudah’ untuk menghitung nilai limit suatu fungsi. Walaupun pada prakteknya tetap saja ada banyak fungsi yang susa dicari nilai limitnya meski sudah menggunakan dalil atau metode l’Hospital. Seperti apakah dalil l’Hospital itu? Mari kita pelajari!

Untuk menghitung nilai limit suatu fungsi f(x) dimana x mendekati a, kita bisa menghitungnya dengan mensubstitusikan nilai x = a pada fungsi f(x) tersebut. Akan tetapi setelah disubstitusikan nilai x = a, beberapa fungsi justru menunjukkan hasil 0/0 yang artinya nilai limit fungsi tersebut tidak dapat diketahui. Padahal, terkadang sebenarnya grafik f(x) pada posisi x = a memiliki nilai limit yang jelas. Oleh karena itu, diperlukan metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi tersebut. Pada dasarnya ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi pada kasus di atas. Beberapa metode tersebut adalah metode pemfaktoran dan metode perkalian sekawan yang dapat dipelajari pada artikel sebelumnya (Klik disini). Namun, banyak siswa yang kurang bisa memahami proses yang panjang dari metode tersebut walaupun sebenarnya metode tersebut baik dan bagus untuk dipahami dan dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari kalkulus. Sebagai solusi banyak yang kemudia beralih menggunakan metode I’Hospital. Bagaimana cara penggunaan metode tersebut? Lihat contoh berikut.

Dalil I’Hospital

Carilah nilai limit dari fungsi berikut!

Cara Mencari Nilai Limit Suatu Fungsi

Limit merupakan salah satu topik matematika yang mulai dipelajari pada jenjang SMA kelas XI. Topik ini sangatlah penting karena menjadi dasar bagi mereka yang ingin belajar tentang kalkulus. Pada artikel kali ini, saya tidak akan membahas tentang definisi atau konsep dasar dari limit itu sendiri melainkan cara mencari atau menentukan nilai limit suatu fungsi dengan berbagai metode. Seperti yang sudah kita tahu, ada banyak cara atau metode untuk mencari nilai limit suatu fungsi tergantung dari karakteristik fungsi ang akan dicari nilai limitnya. Oke, langsung saja mari kita pelajari!

Metode Substitusi

Pada dasarnya untuk mencari nilai limit suatu fungsi misalnya untuk x mendekati a maka nilai limit fungsi tersebut dapat diperoleh dengan cara men-substitusi-kan nilai x = a pada fungsi tersebut. Contoh penggunaan metode substitusi yaitu sebagai berikut:

Contoh Soal 1:

Carilah nilai limit fungsi berikut!

Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku: Teorema Air Mancur

Pernahkah kalian mendengar tentang metode/teorema air mancur pada saat mempelajari topik kesebangunan? Metode air mancur adalah suatu teorema kesebangunan yang berlaku pada segitiga siku-siku. Metode ini biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah kesebangunan pada segitiga siku-siku seperti mencari panjang sisi miring, tinggi segitiga atau panjang ruas garis pada sisi segitiga. Kenapa metode ini dinamakan teorema air mancur? Saya pun kurang tau kenapa dan siapa yang pertama kali mencetuskan nama “air mancur”. Tapi, menurut prediksi saya nama tersebut dipakai agar mudah menghafal isi daripada teorema tersebut. Seperti apa metode air mancur itu? Mari kita pelajari!

Perhatikan segitiga siku-siku di atas! Pada segitiga tersebut berlaku hubungan yaitu:

1.      Bayangkan AC sebagai tiang air mancur maka air mancur tersebut akan menyembur keluar dari titik C ke titik yang lainnya (Lihat gambar di bawah ini) yaitu (a) dari titik C ke titik D dan (b) dari titik C ke titik B. Hal tersebut berarti kuadrat panjang AC sama dengan hasil perkalian panjang ruas CD (air mancur C ke D) dan panjang ruas CB (air mancur dari C ke B). Hubungan tersebut ditulis sebagai berikut:

Cara Mudah Mencari Triple Pythagoras #1

Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentanng bagaimana mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan dari triple pythagoras dasar. Bagi yang belum membaca artikel tersebut bisa klik link ini. Ada banyak metode untuk mecari triple pythagoras yang telah dipublikasikan oleh banyak matematikawan sejak dulu. Metode yang akan kita pelajari kali ini terkenal karena pernah muncul pada salah satu tablet yang dibuat pada masa Babilonia. Tablet ini dinamakan tablet Plimton 322 dan diperkirakan dibuat pada sekitar tahun 1900 SM – 1600 SM. Tablet ini berisi berbagai macam triple pythagoras primitif atau triple pythagoras dasar seperti (3, 4, 5). Jika kita biasa mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan triple pythagoras dasar/primitif maka metode kali ini akan menghasilkan triple pythagoras dasar/primitif tersebut. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode tersebut yaitu sebagai berikut:

Jika u ,v adalah bilangan bulat positif dimana u > v dan u tidak sama dengan v maka

a = 2uv          b = u² – v²          dan   c = u² + v²

a, b, c adalah triple pythagoras.

Teorema Pythagoras dan Contoh Penggunaannya

Teorema Pythagoras adalah teorema yang paling dikenal cukup luas mulai dari kalangan pelajar SD sampai perguruan tinggi. Bukti dari teorema ini pun sudah banyak sekali. Salah satu bukti teorema Pythagoras dapat dilihat pada artikel sebelumnya di blog ini. Teorema ini pun muncul pada preposisi no 48 buku Euclid Elements. Dalam buku tersebut teorema Pythagoras dituliskan sebagai berikut:

“If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sides of the triangle, the angle contained by the remaining two sides is right”

Kurang lebih artinya adalah “jika dalam suatu segitiga, kuadrat pada salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat pada dua sisi yang lainnya pada segitiga tersebut, maka sudut yang diapit oleh dua sisi lainnya tersebut adalah siku-siku”. Secara singkat, kita lebih seringmendengan teorema Pythagoras sebagai berikut:

“Pada segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang mengapit sudut siku-siku sama dengan kuadrat dari panjang sisi miring (terpanjang) segitiga tersebut”

Untuk lebih mudahmemahaminya, lihat gambar berikut:

Cara Mudah Membuktikan Bilangan Prima

Pada artikel terdahulu, saya pernah membahas tentang cara mudah untuk mencari bilangan prima dengan metode saringan. Namun, metode tersebut pun terbilang masih sangat tidak efisien untuk bilangan prima yang nilainya sampai ribuan atau bahkan jutaan. Pertanyaannya sekarang, adakah metode atau cara untuk mengecek bahwa suatu bilangan itu termasuk bilangan prima atau bukan? Ada banyak jawaban untuk pertanyaan ini. Berbagai metode saat ini telah banyak muncul untuk tertama metode dengan menggunakan komputer. Lalu bagaimana jika kita sedang ujian dan butuh secepatnya tahu apakah suatu bilangan termasuk bilangan prima tau bukan. Berikut ini akan kita bahas salah satu metode untuk mengecek atau membuktikan bilangan prima. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode ini berkaitan erat dengan teori bilangan jadi untuk pelajar tingkat SMA ataupun SMP bisa langsung melihat contoh penggunaannya tanpa melihat bagaimana pembuktian teorema berikut. Pasalnya, mungkin ada beberapa bagian yang agak sulit dipahami karena teori bilangan tidak secara khusus dibahas di tingkat SMP dan SMA. Teorema tersebut berbunyi sebagai berikut:

Membagi Ruas Garis dengan Penggaris dan Jangka

Dalam geometri bidang, penggaris dan jangka sering digunakan untuk menggambar bangun-bangun datar maupun ruang. Di era sekarang mungkin penggaris dan jangka tidak terlalu diperlukan karena adanya aplikasi untuk menggambar pada komputer. Namun sering kali metode yang digunakan untuk menggambar bangun geometri di suatu aplikasi pun memerlukan pemahaman tentang cara klasik menggambar dengan jangka dan busur misalnya seperti aplikasi Geogebra atau sejenisnya. Aplikasi yang demikian mutlak memerlukan pemahaman menggambar dengan menggunakan penggaris dan jangka. Kali ini kita akan mempelajari salah satu penggunaan penggaris dan jangkan yaitu untuk membagi ruas garis menjadi beberapa bagian sama panjang. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Berikut ini beberapa cara menggunakan penggaris dan jangka dalam menggambar bangun geometri bidang:

1.    Membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang

Contoh: kita akan membagi ruas garis berikut:

Langkah-langkah untuk membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang yaitu:

-  Letakkan jangka pada salah satu ujung ruas garis, kemudian bentangkan sampai kira-kira lebih dari setengah garis tersebut. Lalu buat lingkaran dengan pusat ujung ruas garis tersebut.

Membuktikan Kesebangunan dan Kekongruenan pada Segitiga: Teorema dan Contohnya

Pada artikel sebelumnya telah dibahas tentang konsep, definisi dan contoh kesebangunan dan kekongruenan bangun datar. Pada prinsipnya untuk membuktikan bahwa dua bangun datar dikatakan sebangun jika kita mampu menunjukkan dua hal yaitu 1) Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama dan 2) perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama dengan 1 maka dua bangun datar tersebut dikatakan kongruen. Namun, untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan pada segitiga, kita tidak perlu membuktikan satu per satu setiap sisi dan sudut yang bersesuaian. Ada teorema yang bisa digunakan untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan segitiga dengan lebih efisien. Bagaimana caranya? Mari kta pelajari!

Awalnya untuk membuktikan bahwa dua segitiga tersebut sebangun maka harus dibuktikan bahwa:

Ternyata untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun tidak perlu dibandingkan semua panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian. Bagaimana caranya?

Kesebangunan Bangun Datar: Konsep, Definisi dan Contoh Soal

Apakah kalian pernah dengar tentang kesebangunan? Apakah yang dinamakan kesebangunan bangun datar itu? Mari kita peajari! Pernahkah melihat peta? Lihatlah peta pulau jawa di bawah ini.

Pulau pada peta memiliki bentuk yang sama dengan pulau yang sebenarnya tetapi ukuran pulau tersebut lebih kecil. Bahkan ukuran baik panjang, lebar, maupun jarak antar tempat pada peta sebanding dengan panjang, lebar, dan jarak pada pulau yang sebenarnya berdasarkan suatu rasio yang disebut skala. Karena pulau pada peta dan pulau tersebut memiliki bentuk yang sama serta ukuran yang sebanding dengan ukuran yang sebenarnya maka dikatakan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Jadi apakah kesebangunan itu?

Lihatlah bangun-bangun datar berikut:

Apa yang dapat kalian simpulkan dari bangun-bangun yang memiliki warna yang sama? Ya Benar, Bangun yang berwarna sama TERLIHAT memiliki bentuk yang mirip hanya saja ukurannya berbeda seperti halnya pulau pada peta dengan pulau yang sebenarnya. Lalu apakah bangun yang memiliki warna yang sama dapat dikatakan sebangun seperti halnya pulau pada peta? Peta dikatakan sebangun karena pembuatannya berdasarkan pengamatan dilapangan dan disesuaikan ukurannya berdasarkan rasio. Oleh karena itu, jelaslah bentuknya sama dan ukurannya sebanding yang menjadikan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Bagaimana dengan bangun datar di atas? Apa yang membuat mereka dapat dikatakan sebangun?

Himpunan dan Diagram Venn: Definisi dan Cara Menyajikan

Sering kali kita menemui soal matematika yang berkaitan dengan himpunan dan diagram venn. Soal-soal pada topik teori bilangan, peluang, atau statistik sering kali membutuhkan pemahaman tentang konsep himpunan dan juga diagram venn. Mari kita pelajari bersama!

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas seperti himpunan nama-nama hari, himpunan warga negara indonesia, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan prima. Objek atau benda haruslah terdefinisi dengan jelas seperti himpunan bilangan bulat itu jelas anggotanya yaitu 1,2,3, atau -2 dst atau himpunan nama-nama hari dengan anggotanya yaitu senin, selasa, rabu, dst. Kumpulan lukisan yang indah bukan termasuk himpunan karena objeknya tidak terdefinisi dengan jelas misal si A menilai lukisan 1 termasuk indah tetapi si B mengatakan lukisan tersebut kurang baik.