Cara Mudah Menghitung Nilai Limit Suatu Fungsi: Dalil I'Hospital

Pernahkah kalian mendengar tentang dalil l’Hospital? Ya dalil ini berkaitan erat dengan topik matematika tentang limit. Dalil tersebut banyak dikenalkan oleh kalangan pengajar pada siswa sebagai suatu ‘cara cepat’ atau ‘cara mudah’ untuk menghitung nilai limit suatu fungsi. Walaupun pada prakteknya tetap saja ada banyak fungsi yang susa dicari nilai limitnya meski sudah menggunakan dalil atau metode l’Hospital. Seperti apakah dalil l’Hospital itu? Mari kita pelajari!

Untuk menghitung nilai limit suatu fungsi f(x) dimana x mendekati a, kita bisa menghitungnya dengan mensubstitusikan nilai x = a pada fungsi f(x) tersebut. Akan tetapi setelah disubstitusikan nilai x = a, beberapa fungsi justru menunjukkan hasil 0/0 yang artinya nilai limit fungsi tersebut tidak dapat diketahui. Padahal, terkadang sebenarnya grafik f(x) pada posisi x = a memiliki nilai limit yang jelas. Oleh karena itu, diperlukan metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi tersebut. Pada dasarnya ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit fungsi pada kasus di atas. Beberapa metode tersebut adalah metode pemfaktoran dan metode perkalian sekawan yang dapat dipelajari pada artikel sebelumnya (Klik disini). Namun, banyak siswa yang kurang bisa memahami proses yang panjang dari metode tersebut walaupun sebenarnya metode tersebut baik dan bagus untuk dipahami dan dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari kalkulus. Sebagai solusi banyak yang kemudia beralih menggunakan metode I’Hospital. Bagaimana cara penggunaan metode tersebut? Lihat contoh berikut.

Dalil I’Hospital

Carilah nilai limit dari fungsi berikut!

Cara Mencari Nilai Limit Suatu Fungsi

Limit merupakan salah satu topik matematika yang mulai dipelajari pada jenjang SMA kelas XI. Topik ini sangatlah penting karena menjadi dasar bagi mereka yang ingin belajar tentang kalkulus. Pada artikel kali ini, saya tidak akan membahas tentang definisi atau konsep dasar dari limit itu sendiri melainkan cara mencari atau menentukan nilai limit suatu fungsi dengan berbagai metode. Seperti yang sudah kita tahu, ada banyak cara atau metode untuk mencari nilai limit suatu fungsi tergantung dari karakteristik fungsi ang akan dicari nilai limitnya. Oke, langsung saja mari kita pelajari!

Metode Substitusi

Pada dasarnya untuk mencari nilai limit suatu fungsi misalnya untuk x mendekati a maka nilai limit fungsi tersebut dapat diperoleh dengan cara men-substitusi-kan nilai x = a pada fungsi tersebut. Contoh penggunaan metode substitusi yaitu sebagai berikut:

Contoh Soal 1:

Carilah nilai limit fungsi berikut!

Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku: Teorema Air Mancur

Pernahkah kalian mendengar tentang metode/teorema air mancur pada saat mempelajari topik kesebangunan? Metode air mancur adalah suatu teorema kesebangunan yang berlaku pada segitiga siku-siku. Metode ini biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah kesebangunan pada segitiga siku-siku seperti mencari panjang sisi miring, tinggi segitiga atau panjang ruas garis pada sisi segitiga. Kenapa metode ini dinamakan teorema air mancur? Saya pun kurang tau kenapa dan siapa yang pertama kali mencetuskan nama “air mancur”. Tapi, menurut prediksi saya nama tersebut dipakai agar mudah menghafal isi daripada teorema tersebut. Seperti apa metode air mancur itu? Mari kita pelajari!

Perhatikan segitiga siku-siku di atas! Pada segitiga tersebut berlaku hubungan yaitu:

1.      Bayangkan AC sebagai tiang air mancur maka air mancur tersebut akan menyembur keluar dari titik C ke titik yang lainnya (Lihat gambar di bawah ini) yaitu (a) dari titik C ke titik D dan (b) dari titik C ke titik B. Hal tersebut berarti kuadrat panjang AC sama dengan hasil perkalian panjang ruas CD (air mancur C ke D) dan panjang ruas CB (air mancur dari C ke B). Hubungan tersebut ditulis sebagai berikut:

Cara Mudah Mencari Triple Pythagoras #1

Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentanng bagaimana mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan dari triple pythagoras dasar. Bagi yang belum membaca artikel tersebut bisa klik link ini. Ada banyak metode untuk mecari triple pythagoras yang telah dipublikasikan oleh banyak matematikawan sejak dulu. Metode yang akan kita pelajari kali ini terkenal karena pernah muncul pada salah satu tablet yang dibuat pada masa Babilonia. Tablet ini dinamakan tablet Plimton 322 dan diperkirakan dibuat pada sekitar tahun 1900 SM – 1600 SM. Tablet ini berisi berbagai macam triple pythagoras primitif atau triple pythagoras dasar seperti (3, 4, 5). Jika kita biasa mencari triple pythagoras dengan cara mencari kelipatan triple pythagoras dasar/primitif maka metode kali ini akan menghasilkan triple pythagoras dasar/primitif tersebut. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode tersebut yaitu sebagai berikut:

Jika u ,v adalah bilangan bulat positif dimana u > v dan u tidak sama dengan v maka

a = 2uv          b = u² – v²          dan   c = u² + v²

a, b, c adalah triple pythagoras.

Teorema Pythagoras dan Contoh Penggunaannya

Teorema Pythagoras adalah teorema yang paling dikenal cukup luas mulai dari kalangan pelajar SD sampai perguruan tinggi. Bukti dari teorema ini pun sudah banyak sekali. Salah satu bukti teorema Pythagoras dapat dilihat pada artikel sebelumnya di blog ini. Teorema ini pun muncul pada preposisi no 48 buku Euclid Elements. Dalam buku tersebut teorema Pythagoras dituliskan sebagai berikut:

“If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sides of the triangle, the angle contained by the remaining two sides is right”

Kurang lebih artinya adalah “jika dalam suatu segitiga, kuadrat pada salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat pada dua sisi yang lainnya pada segitiga tersebut, maka sudut yang diapit oleh dua sisi lainnya tersebut adalah siku-siku”. Secara singkat, kita lebih seringmendengan teorema Pythagoras sebagai berikut:

“Pada segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang mengapit sudut siku-siku sama dengan kuadrat dari panjang sisi miring (terpanjang) segitiga tersebut”

Untuk lebih mudahmemahaminya, lihat gambar berikut:

Cara Mudah Membuktikan Bilangan Prima

Pada artikel terdahulu, saya pernah membahas tentang cara mudah untuk mencari bilangan prima dengan metode saringan. Namun, metode tersebut pun terbilang masih sangat tidak efisien untuk bilangan prima yang nilainya sampai ribuan atau bahkan jutaan. Pertanyaannya sekarang, adakah metode atau cara untuk mengecek bahwa suatu bilangan itu termasuk bilangan prima atau bukan? Ada banyak jawaban untuk pertanyaan ini. Berbagai metode saat ini telah banyak muncul untuk tertama metode dengan menggunakan komputer. Lalu bagaimana jika kita sedang ujian dan butuh secepatnya tahu apakah suatu bilangan termasuk bilangan prima tau bukan. Berikut ini akan kita bahas salah satu metode untuk mengecek atau membuktikan bilangan prima. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Metode ini berkaitan erat dengan teori bilangan jadi untuk pelajar tingkat SMA ataupun SMP bisa langsung melihat contoh penggunaannya tanpa melihat bagaimana pembuktian teorema berikut. Pasalnya, mungkin ada beberapa bagian yang agak sulit dipahami karena teori bilangan tidak secara khusus dibahas di tingkat SMP dan SMA. Teorema tersebut berbunyi sebagai berikut:

Membagi Ruas Garis dengan Penggaris dan Jangka

Dalam geometri bidang, penggaris dan jangka sering digunakan untuk menggambar bangun-bangun datar maupun ruang. Di era sekarang mungkin penggaris dan jangka tidak terlalu diperlukan karena adanya aplikasi untuk menggambar pada komputer. Namun sering kali metode yang digunakan untuk menggambar bangun geometri di suatu aplikasi pun memerlukan pemahaman tentang cara klasik menggambar dengan jangka dan busur misalnya seperti aplikasi Geogebra atau sejenisnya. Aplikasi yang demikian mutlak memerlukan pemahaman menggambar dengan menggunakan penggaris dan jangka. Kali ini kita akan mempelajari salah satu penggunaan penggaris dan jangkan yaitu untuk membagi ruas garis menjadi beberapa bagian sama panjang. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari!

Berikut ini beberapa cara menggunakan penggaris dan jangka dalam menggambar bangun geometri bidang:

1.    Membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang

Contoh: kita akan membagi ruas garis berikut:

Langkah-langkah untuk membagi ruas garis menjadi dua bagian sama panjang yaitu:

-  Letakkan jangka pada salah satu ujung ruas garis, kemudian bentangkan sampai kira-kira lebih dari setengah garis tersebut. Lalu buat lingkaran dengan pusat ujung ruas garis tersebut.

Membuktikan Kesebangunan dan Kekongruenan pada Segitiga: Teorema dan Contohnya

Pada artikel sebelumnya telah dibahas tentang konsep, definisi dan contoh kesebangunan dan kekongruenan bangun datar. Pada prinsipnya untuk membuktikan bahwa dua bangun datar dikatakan sebangun jika kita mampu menunjukkan dua hal yaitu 1) Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama dan 2) perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama dengan 1 maka dua bangun datar tersebut dikatakan kongruen. Namun, untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan pada segitiga, kita tidak perlu membuktikan satu per satu setiap sisi dan sudut yang bersesuaian. Ada teorema yang bisa digunakan untuk membuktikan kesebangunan dan kekongruenan segitiga dengan lebih efisien. Bagaimana caranya? Mari kta pelajari!

Awalnya untuk membuktikan bahwa dua segitiga tersebut sebangun maka harus dibuktikan bahwa:

Ternyata untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun tidak perlu dibandingkan semua panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian. Bagaimana caranya?

Kesebangunan Bangun Datar: Konsep, Definisi dan Contoh Soal

Apakah kalian pernah dengar tentang kesebangunan? Apakah yang dinamakan kesebangunan bangun datar itu? Mari kita peajari! Pernahkah melihat peta? Lihatlah peta pulau jawa di bawah ini.

Pulau pada peta memiliki bentuk yang sama dengan pulau yang sebenarnya tetapi ukuran pulau tersebut lebih kecil. Bahkan ukuran baik panjang, lebar, maupun jarak antar tempat pada peta sebanding dengan panjang, lebar, dan jarak pada pulau yang sebenarnya berdasarkan suatu rasio yang disebut skala. Karena pulau pada peta dan pulau tersebut memiliki bentuk yang sama serta ukuran yang sebanding dengan ukuran yang sebenarnya maka dikatakan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Jadi apakah kesebangunan itu?

Lihatlah bangun-bangun datar berikut:

Apa yang dapat kalian simpulkan dari bangun-bangun yang memiliki warna yang sama? Ya Benar, Bangun yang berwarna sama TERLIHAT memiliki bentuk yang mirip hanya saja ukurannya berbeda seperti halnya pulau pada peta dengan pulau yang sebenarnya. Lalu apakah bangun yang memiliki warna yang sama dapat dikatakan sebangun seperti halnya pulau pada peta? Peta dikatakan sebangun karena pembuatannya berdasarkan pengamatan dilapangan dan disesuaikan ukurannya berdasarkan rasio. Oleh karena itu, jelaslah bentuknya sama dan ukurannya sebanding yang menjadikan pulau pada peta dan pulau yang sebenarnya sebangun. Bagaimana dengan bangun datar di atas? Apa yang membuat mereka dapat dikatakan sebangun?

Himpunan dan Diagram Venn: Definisi dan Cara Menyajikan

Sering kali kita menemui soal matematika yang berkaitan dengan himpunan dan diagram venn. Soal-soal pada topik teori bilangan, peluang, atau statistik sering kali membutuhkan pemahaman tentang konsep himpunan dan juga diagram venn. Mari kita pelajari bersama!

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas seperti himpunan nama-nama hari, himpunan warga negara indonesia, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan prima. Objek atau benda haruslah terdefinisi dengan jelas seperti himpunan bilangan bulat itu jelas anggotanya yaitu 1,2,3, atau -2 dst atau himpunan nama-nama hari dengan anggotanya yaitu senin, selasa, rabu, dst. Kumpulan lukisan yang indah bukan termasuk himpunan karena objeknya tidak terdefinisi dengan jelas misal si A menilai lukisan 1 termasuk indah tetapi si B mengatakan lukisan tersebut kurang baik.

Sifat-Sifat Logaritma, Contoh, dan Pembuktiannya

Tahukah kalian apa itu logaritma? Apabila diketahui jika a ^m = b maka logaritma didefinisikan sebagai berikut: ^a log b = m . Logaritma digunakan untuk mengoperasikan pangkat suatu bilangan.

Seperti hanya eksponen, a pada logaritma disebut pula bilangan pokok. Sementara b disebut numerus dan m adalah hasil logaritman yang merupakan pangkat pada bentuk eksponen. Contoh logaritma yaitu sebagai berikut:

Sebagai tambahan pengetahuan gambar di atas merupakan salah satu grafik fungsi logaritma (y = log x). Logaritma memiliki beberapa sifat yang berlaku seperti halnya eksponen. Berikut ini akan kita bahas sifat-sifat dari logaritma dan buktinya.

Sifat-Sifat Eksponen (Bilangan Bentuk Pangkat)

Eksponen adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a ^m = a.a.a.a. ... (Sebanyak m faktor) dimana a > 0 dan a tidak sama dengan 1. a kemudia disebut bilangan pokok dan m adalah pangkat.

Bilangan eksponen memiliki beberapa sifat pada operasi perkalian dan pembagian. Misalkan m dan n adalah bilangan bulat maka:

1.  a ^m . a ⁿ = a ^{m + n} 

Contoh: 3⁴ . 3² = 3 ⁴⁺² = 3 ⁶

Kenapa bisa begitu? Bukti:

Terbukti.

Memfaktorkan dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Tahukah anda tentang persamaan kuadrat? Salah satu topik tentang aljabar yang mulai diajarkan pada siswa SMP kelas VIII. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum (baku) yaitu

Persamaan kudrat sangat sering dipakai dalam matematika analitik. Salah satu masalah yang paling sering muncul yaitu bagaimana cara memfaktorkan suatu persamaan kuadrat. Memfaktorkan merupakan salah satu metode untuk menemukan solusi dari persamaan kuadrat. Untuk bisa mendapatkan solusi atau himpunan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat maka proses pemfaktoran harus dilewati. Kecuali jika menggunakan rumus secara langsung. Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat? Adakah cara cepat memfaktorkan persamaan kuadrat? Mari kita pelajari bersama!

Perlu diperhatikan jika pada jenjang SMP masalah yangn muncul hanyalah memfaktorkan. Menentukan penyelesaian dan nilai x nya baru akan diajarkan pada jenjang SMA kelas X. Akan tetapi tidak ada salahnya melihat dan mempelajari sedikit tentang topik tersebut.

Menghitung Luas Trapesium

Pernahkah kalian melihat bangun datar seperti bangun di bawah ini?

Bangun-bangun di atas adalah bangun datar yang disebut trapesium. Ciri-ciri trapesium yaitu memiliki sepasang sisi yang sejajar. Pada artikel yang lain telah dipelajari cara menghitung keliling bangun datar termasuk trapesium. Nah kali ini kita akan menghitung luas trapesium. Tahukah kalian bagaimana cara menghitung luas trapesium? Mari kita pelajari!

Kita ambil satu contoh trapesium dari tiga jenis trapesium di atas. Lihat trapesium berikut:

Untuk membantu memahami cara mencari luas trapesium, perhatikan langkah berikut:

Cara Mudah Menentukan Persamaan Garis Lurus

Menentukan persamaan garis lurus adalah salah satu topik matematika pada jenjang SMP kelas VIII. Topik ini terbilang cukup sulit bagi yang kurang memahami konsep garis lurus dan hanya berpaku pada penggunaan rumus. Padahal materi ini cukup mudah bagi mereka yang sudah memahami konsep dasarnya. Bahkan, untuk menentukan persamaan suatu garis yang misalnya hanya diketahui dua titik yang dilewati, gradien, dsb, tidak perlu menggunakan rumus yang berbeda-beda. Bagaimana caranya? Mari kita pahami terlebih dahulu tentang garis lurus!

Gambar di atas merupakan grafik garis lurus dengan persamaan y = (-3/5)x + 3. Secara umum persamaan suatu garis lurus dinyatakan dalam dua bentuk umum yaitu:

Menghitung Luas Jajar Genjang

Pernahkah kalian melihat kue lapis dengan potongan seperti gambar di bawah ini?

Apabila kalian disuruh memilih salah satu dari kue tersebut, pastilah kalian memilih kue yang menurut kalian paling besar. Bagaimanakah cara kalian menentukan mana kue yang lebih besar? Mari kita pelajari!

Untuk menentukan kue mana yang lebih besar maka kita harus membandingkan luasnya. Sekarang pertanyaannya adalah manakah kue yang paling luas? Bagaimana cara mencari luas kue tersebut? Pehatikan dua kue diatas! Dua kue tersebut memiliki panjang dan tinggi yang sama yaitu panjang 6 cm dan tinggi 3 cm.

Menyelesaikan Masalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah salah satu topik yang dibahas pada jenjang SMP kelas VIII. Topik ini berkaitan erat dengan topik sistem persamaan linear satu variabel (SPLSV) dan garis lurus. Berikut ini akan dibahas beberapa contoh masalah SPLDV dan berbagai metode untuk menyelesaikan atau menjawabnya.

Contoh Masalah:

Suatu ketika Toni membeli satu tas dan dua pasang sepatu di salah satu toko di Surabaya. Toni harus membayar total Rp210.000,00. Dilain waktu, Silva membeli tiga tas dan satu pasang sepatu dengan merek yang sama dan di toko yang sama seharga total Rp390.000,00. Berapakah masing-masing harga tas dan sepatu tersebut?

Menghitung Luas Segitiga #1

Kali ini kita akan menghitung luas segitiga atau luas daerah segitiga. Ada banyak cara untuk menghitung luas segitiga mulai dari menggunakan alas dan tingginya sampai keliling dan fungsi trigonometri. Berikut ini adalah salah satu cara menghitung luas segitiga jika diketahui panjang alas dan tingginya:

Menghitung Luas Segitiga Cara #1

Diketahui suatu segitiga seperti gambar di bawah.

Bagaimanakah cara menghitung luas segitiga tersebut? Mari kita pelajari!

Andaikan kita memiliki dua segitiga yang sama yaitu ABC dan DEF dengan panjang alas a dan tinggi t. Apabila sisi BC dan sisi EF dihimpitkan maka dua segitiga tersebut akan membentuk jajar genjang dengan alas a dan tinggi t. Padahal luas jajar genjang tersebut sama dengan hasil kali panjang alas dan tinggi jajar genjang tersebut.

Menghitung Volume Kubus dan Balok: Konsep Dasar Volume

Materi volume kubus dan balok dibahas di tingkat sekolah dasar kelas V. Artikel kali ini akan kembali membahas topik tersebut sembari menanamkan konsep dasar dari volume itu sendiri. Perhatikan gambar balok di bawah ini. Di dalam balok tersebut terdapat kubus satuan yang ditata rapi. Tahukah kalian sebenarnya ada berapa banyak kubus satuan yang dapat dimasukkan ke dalam balok.

Beberapa mungkin masih belum tau apa itu kubus satuan, Kubus satuan yaitu kubus yang berukuran panjang 1 satuan, lebar 1 satuan, dan tinggi 1 satuan. Contoh jika satuan yang dipakai centimeter, maka ukuran kubus satuan adalah 1x1x1 cm. Nah sekarang tahukah kalian berapa banyak kubus satuan yang dapat dimuat oleh balok di atas? Bagi yang sudah bisa membayangkan dan menghitungnya mungkin dengan mudah akan menjawab 48 kubus. Tetapi bagi sebagian yang lain, masalah ini cukup sulit untuk diselesaikan. Baiklah, bagaimana cara menghitungnya?

Integral Tertentu (Definite Integral): Luas Area yang Dibatasi oleh Kurva

Integral dalam kalkulus dapat dipandang dari dua sudut yaitu sudut pandang integral sebagai anti-derivative dan sudut pandang integral sebagai luasan area yang dibatasi oleh kurva. Sebagai anti-derivative, integral dikenal sebagai integral tak tentu (Indefinite Integral) sedangkan sebagai luasan area di bawah kurva, integral dikenal sebagai integral terntentu (Definite Integral). Kali ini kita akan membahas mengenai integral tertentu melalui pendekatan yang dilakukan oleh seorang matematikawan bernama Riemann.

Perhatikan kurva fungsi y = f(x) di atas! Pernahkah kalian berpikir bagaimana caranya menghitung luas daerah di bawah kurva tersebut? (Daerah yang diarsir biru). Ada berbagai macam cara yang dapat digunakan untuk menghitung luas area tersebut. Namun, metode yang digunakan oleh Newton, Leibniz, Riemann dkk untuk menghitung luas area tersebut telah melahirkan cabang ilmu kalkulus. Bagaimana caranya mereka menghitung luas area tersebut? Mari kita pelajari.

Untuk menghitung luas area tersebut, Riemann membuat persegi panjang seperti gambar berikut:

Kalkulus Differensial: Gradien Garis Singgung

Masalah dasar pada kalkulus differensial yaitu masalah mencari gradien garis singgung (tangent) suatu kurva. Misal diberikan suatu fungsi y = f(x) dan suatu titik pada kurva fungsi tersebut yaitu P( x₀, y₀). Bagaimanakah cara mencari gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik P ( x₀, y₀)? 

Untuk mencari gradien garis singgung pada suatu titik tertentu maka kita membutuhkan minimal dua titik pada garis singgung (Lihat artikel sebelumnya tentang gradien). Namun, kita hanya mempunyai satu titik yaitu titik P( x₀, y₀), titik kedua haruslah merupakan titik pada garis singgung dan dapat dicari menggunakan fungsi y = f(x). Hal ini tentu merupakan hal yang mustahil karena garis singgung selalu memotong kurva di satu titik. Lalu bagaimana cara mencari titik yang kedua agar gradien garis singgung di titik P( x₀, y₀) dapat ditentukan?

Pembuktian Teorema Pythagoras #1

Teorema Pythagoras cukup banyak dikenal dan telah banyak dipelajari mulai dari pelajar SD sampai pelajar tingkat perguruan tinggi. Berbagai macam metode pembuktian baik secara analitik maupun visual telah banyak beredar dan dipublikasikan melalui buku ataupun lewat dunia maya. Berikuti ini akan kita bahas salah satu metode pembuktian teorema Pythagoras yang cukup banyak dikenal, namun hanya sedikit yang benar-benar memahaminya. Perhatikan gambar berikut:

Sering sekali kita melihat gambar di atas yang merupakan salah satu cara membuktikan teorema Pythagoras. Namun, kebanyakan siswa hanyalah menerima bahwa teorema sudah terbukti dan gambar diatas hanya dilihat sekilas saja. Mari kita coba pahami proses pembuktian teorema Pythaggoras yang tersirat pada gambar di atas.

Metode Permutasi dan Faktorial Bilangan Asli

Suatu ketika kepala sekolah SMP Serayu akan membentuk kepanitiaan yang terdiri dari ketua, sekertaris dan bendahara dari 10 orang yang mencalonkan diri. Kepala sekolah tersebut pun mecoba-coba kemungkinan panitia yang bisa dia susun dengan ketujuh orang tersebut. Kemudian, kepala sekolah tersebut membuat list panitia yang dia susun. Namun, dia mulai kebingungan berapa banyak sebenarnya susunan yanng dapat dibuat untuk posisi ketua, bendahara, dan sekertaris dari ketujuh orang tersebut.

Masalah di atas merupakan contoh masalah yang bisa diselesaikan dengan kaidah pencacahan metode pengisian tempat atau metode permutasi. Metode pencacahan telah dijelaskan pada artikel sebelumnya. Oleh karena itu, kali ini kita akan belajar metode permutasi. Namun sebelum masuk pada penggunaan metode permutasi, perlu diketahui terlebih dahulu tentang faktorial bilangan asli.

Kaidah Pencacahan: Metode Pengisian Tempat (Filling Slots)

Suatu saat Ani akan pergi ke taman bermain bersama teman-temannya. Namun, dia bingung memilih baju dan celana yang akan di pakai. Dia memiliki dua baju yang berwarna abu-abu dan warna merah. Sedangkan celananya ada tiga jenis yaitu celana warna biru, pink dan hijau. Pertama, Ani mencoba pasangan baju abu-abu dan celana hijau. Namun, kemudian dia mencoba lagi pasangan yang lain. Ani kemudian ingin mencoba semua pasangan baju yang mungkin dia pakai. Tahukah kalian sebenarnya berapa banyak pasanng baju dan celana yang mungkin dipakai oleh Ani?

Masalah diatas merupakan contoh masalah tentang kaidah pencacahan (counting rules). Ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menghitung banyak cara yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Metode-metode tersebut adalah: 1) Filling slots (Pengisian tempat/kaidah perkalian), 2) Permutasi, dan 3) Kombinasi. Topik kali ini hanya akan membahas satu metode dulu yaitu filling slots atau sering pula disebut sebagai kaidah pengisian tempat dan kaidah perkalian. Contoh masalah diatas tadi dapat pula diselesaikan dengan metode pengisian tempat. Bagaimana metode filling slots digunakan akan kita bahas nanti.

Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Artikel kali ini akan membahas cara mudah menggambar grafik fungsi kuadrat pada bidang koordinat kartesius. Materi ini diajarkan pada jenjang SMA kelas X. Sebelum kita mulai menggambar grafik fungsi kuadrat, perlu diingat kembali beberapa konsep tentang fungsi kuadrat. Apa sajakah itu?

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum yaitu f(x) = ax² + bx + c dengan nilai a tidak sama dengan 0. Fungsi kuadrat memiliki nilai determinan (D) yang dapat dihitung dengan cara D = b² – 4ac  . Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki banyak dan jenis akar penyelesaian persamaan kuadrat yang diperoleh dari fungsi kuadrat, yang dibedakan menjadi tiga yaitu:

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda
2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer (tidak real).

Akar penyelesaian suatu persamaan kuadrat sejatinya juga merupakan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Oleh karena itu, jika D > 0 maka grafik akan memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jika D = 0 maka grafik akan memotong sumbu X di satu titik alias menyinggung sumbu X. Jika D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu X.

Menghitung Luas Persegi dan Persegi Panjang: Konsep Dasar

Di SD kelas 5, siswa dituntunt untuk bisa memahami konsep luas bangun datar seperti persegi dan persegi panjang. Biasanya siswa akan diminta untuk menghafal rumus luas untuk menghitung luas persegi dan persegi panjang. Terkadang ini membuat siswa kurang bisa memahami dengan baik apa itu luas persegi dsb. Ada pula yang susah membedakan anatar kelliling dan luas sampai-sampai terkutar dalam menggunakan rumus. Artikel kali ini memcoba untuk mengenalkan konsep luas melalui luas persegi panjang dan persegi dengan harapan mampu memberikan tambahan pengetahuan bagi siswa. Tentu di akhir proses investigasi, akan dikenalkan pula rumus luas persegi dan persegi panjang.

Luas suatu daerah adalah banyaknya persegi satuan yang diperlukan untuk menutup daerah tersebut dengan tepat tanpa kuranng dan lebih. Persegi satuan sendiri adalah persegi dengan panjang sisi 1 satuan. Jika satuan yang dipakai adalah 1 cm, maka persegi satuannya adalah 1 cm². Sekarang perhatikan contoh bangun datar berikut:

Pemrograman Linear: Metode Garis Selidik

Salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan untuk memecahkan masalah efisiensi produksi, waktu maupun distribusi adalah pemrograman linear. Pada masa perang dunia II, sejarah mencatat berkat keberhasilan para matematikawan memecahkan masalah pemrograman linear, Amerika mampu memenangi perang melawan Jepang karena lebih memiliki strategi yang efisien. Pemrograman linear sendiri konsep dasarnya sudah dipelajari sejak SMP kelas VIII. Namun, siswa baru benar-benar berkenalan dan belajar pemrograman linear di bangku SMA kelas XII.

Masalah pada pemrograman linear terbagi menjadi dua bagian yaitu constrains (kendala) dan fungsi tujuan. Fungsi tujuan berupa fungsi yang merujuk pada tujuan yang ingin dicapai seperti meminimalkan biaya produksi dan distribusi atau memaksimalkan keuntungan yang diperoleh. Sedangkan, kendala berperan sebagai batasan yang harus dipenuhi dalam mencapai tujuan misalnya total waktu produksi tidak lebih dari 24 jam atau banyaknya bahan produksi yang tersedia hanya 100 kg. Fungsi tujuan dalam pemrograman linear biasanya menuju pada dua tujuan yaitu memaksimalkan atau meminimalkan. Fungsi tujuan yang memaksimalkan biasanya berupa permasalahan tertang terbatasnya waktu, biaya, bahan, atau tenaga (sumber daya). Di lain pihak, fungsi tujuan yang meminimalkan biasanya berupa permasalahan tentang distribusi, biaya produksi, waktu yang diperlukan, dsb.

Masalah pemrograman linear biasanya disajikan dalam dua jenis yaitu 1) masalah dalam bentuk persamaan matematika dan 2) masalah dalam bentuk soal cerita. Untuk lebih mudah memahami tentang pemrograman linear, pada artikel ini akan dibahas satu contoh masalah terlebih dahulu yaitu contoh masalah dalam bentuk persamaan matematika. Sedangkan, masalah dalam bentuk soal cerita akan dibahas pada artikel lain.

Gradien Garis Lurus: Derajat Kemiringan Garis

Perhatikan gambar keempat mobil berikut yang berjalan di jalan: 

Mobil-mobil tersebut sedang melewati jalan yang berbeda-beda. Mobil biru ada di jalan turunan yang cukup curam. Mobil oranye berada pada jalan yang rata dan landai. Mobil merah dan mobil hijau berada pada jalan menanjak tetapi jalan yang dilewati mobil merah jauh lebih landai. Jalan yang dilewati mobil hijau jauh lebih curam. Dalam geometri, untuk menyatakan tingkat kemiringan jalan apakah itu menurun, landai, naik , atau menanjak dinamakan gradien. Jika jalan yang dilewati mobil diatas bisa diandaikan sebagai suatu garis lurus maka gradien secara formal didefinisikan sebagai suatu nilai yang menyatakan derajat kamiringan suatu garis lurus.

Mencari Nilai Rata-Rata dari Data Tunggal atau Data Kelompok

Mencari nilai rata-rata suatu data sudah dipelajari sejak kelas 6 SD dimulai dengan mencari nilai rata-rata dari suatu data tunggal. Pada jenjang SMP dan SMA siswa akan dintuntut untuk bisa mencari nilai rata-rata dari suatu data yg direpresentasikan dengan grafik, tablel, ogif, atau diagram. Secara umum ada tiga jenis data yaitu data tunggal, data tunggal berfrekuensi, dan data kelompok. Berikut akan dipelajari cara mencari rata-rata dari ketiga jenis representasi data melalui contoh dari kehidupan sehari-hari:

a.       Mencari nilai rata-rata dari data tunggal (Mean)

Seorang guru menunjukkan data tinggi badan dari sembilan siswa yang akan ikut kompetisi olahraga. Data tinggi badan sembilan siswa tersebut dalam centimeter adalah: 150, 160, 155, 156, 152, 162, 158, 157, dan 161 cm.

Berapakah rata-rata tinggi badan siswa yang akan mengikuti kompetisi olahraga?

Metode Pembuktian: Induksi Matematik

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian teorema yang banyak paling sering digunakan dalam teori bilangan. Teorema-teorema yang dapat dibuktikan dengan menggunakan metode induksi matematik adalah teorema dengan semesta pembicaraan atau domain himpunan bilangan bulat, lebih khusus yaitu bilangan cacah. Metode yang digunakan yaitu dengan membuktikan bahwa teorema berlaku untuk satu kondisi awal (n₀). Kemudian, dibuktikan bahwa teorema berlaku untuk n_i yang selanjutnya. Oleh karena itu, pada proses pembuktian harus dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Misalkan: akan dibuktikan teorema P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli

1. Buktikan bahwa P(1) adalah benar/berlaku. Kenapa n = 1? Karena semesta teorema P(n) adalah bilangan asli maka P(n) harus dibuktikan benar untuk kondisi awal n = 1.
2. Asumsikan bahwa untuk suatu bilangan asli k maka P(k) adalah benar. Kemudian buktikan bahwa jika P(k) adalah benar maka P(k+1) juga benar.

Fungsi Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Artikel berikut akan membahas tentang asal-muasal fungsi trigonometri. Namun, yang akan diperlajari bukanlah asal-muasal sejarahnya melainkan lebih pada dasar konsep fungsi trigonometri dalam hubungannya dengan perbandingan panjang sisi segitiga siku-siku. Perhatikan segitiga siku-siku dibawah ini. Perlu diketahui terlebih dahulu cara penamaan titik sudut, sisi, dan sudut dalam segitiga sesuai dengan kesepakatan para matematikawan.

Konsep Dasar Keliling Bangun Datar

Siswa sekolah SD kelas IV tentu sudah mempelajari keliling bangun datar seperti keliling persegi, persegi panjang, ataupun keliling bangun datar gabungan. Tujuan dari artikel ini adalah untuk mengajarkan konsep keliling melalui pendekatan realistic masalah (Masalah sehari). Oleh karena itu, kita ini akan membahas cara mencari keliling bangun datar tanpa menggunakan rumus tetapi melalui pendekatan seorang pelari yang mengelilingi suatu lapangan.

Garis Bilangan Real dan Interval

Garis bilangan real adalah korespondesi satu-satu antara titik pada garis lurus horisontal dengan bilangan-bilangan pada himpunan bilangan real. Lebih mudahnya, garis bilangan itu seperti penggaris dimana setiap bilangan real ditempatkan pada garis tersebut secara berurutan berdasarkan nilainya. Berikut ini adalah contoh garis bilangan real. Setiap titik pada garis bilangan di atas berkorespondensi dengan suatu bilangan real.

Pada contoh diatas terlihat bahwa kita selalu bisa memetakan (dengan perkiraan) posisi setiap bilangan pada garis. Misalnya bilangan bulat 0, 2, dan 4 menempati tempatnya masing-masingdengan 0 lebih kekiri dibanding 2 dan dua lebih kekiri dibanding 4. Bagaimana dengan bilangan rasional? Missal 4/5 itu bernilai 0,8 mendekati 1 tetapi lebih kekiri. Oleh karena itu, 4/5 beradaditempatkan sebelah kiri dekat dengan posisi angka 1. Bilangan irasional-pun sama yaitu misalnya V2 (akar 2) ditempatkan sebelum 2 karena nilainya sekitar 1,4. Setiap bilangan real memilikisatu posisi pada garis. Untuk menentukan posisi suatu bilangan bisa mengacu pada posisi dari bilangan lain yang nilainya mendekati bilangan tersebut.